  32 ℃  2022中国国家队选拔考试是针对通过中国数学奥林匹克（CMO，又称为数学冬令营）的前六十名学生的选拔考试，这些学生已经没有升学压力。具有保送资格，基本都保送的北大或者清华。第一阶段要经过四次考试每次4.5小时完成三个题，由成绩排名选拔出前15名左右的学生。然后再进行第二阶段的选拔，决定6名学生代表中国参加今年7月份的国际数学奥林匹克(IMO)。因为疫情原因，今年的选拔在线上举行，各省设置一个考点。 3.23-3.24考了两次，第一天的第一道题为： 1、圆内接凸六边形ABCDEF中，AB交CD于G，AF交DE于H，M,N为△BCG、EFH的外心。 证明：BE,CF,MN三线共点。  网络上已经有很多高手给出了本题的解法，本文拟记录一下本人对此题的思考过程，并整理见到的各个高手的解答。并作简单评述。然后挖掘本题的来源及各个解法的本质，希望整理出此题的来龙去脉、前世今生。 首先画出准确的图形，图形很好画。设I为BE、CF交点。 其次挖掘图形的基本性质，圆内接六边形性质不太多， 最有名气的性质就是帕斯卡定理：圆内接六边形 对边交点，凡三点共线。对六边形ABEDCF由此定理 即得GIH共线。这个结论很可能有用。对于圆心M， 要么用OM为BC中垂线，要么用MB=MG=MC，要么用圆心角 为圆周角的二倍。但似乎都不太好用。  然后从结果入手，需证MN,BE,CF三线共点。即证MIN共线。 感觉直线MN、MI都不好描述。也就没法证明MN过I了。 再次回到已知图形中去，挖掘图形的性质。重点研究外心M、N， 加上前面得到GIH共线。由对称性，GM、HN应该具有类似的性质， 结合准确的图形，可以发现似乎有GM//HN，即圆M、圆N关于I位似。进而即得MIN共线。 欲证明GM//HN，即圆M、圆N关于I位似，即证GM/HN=GI/IH。 我对帕斯卡定理结构还是比较熟悉的，我的理解是，帕斯卡定理结构的本质是一个恒等式。  即如图所示的圆内接六边形 ACEBFD,GIH共线，且有  事实上，此结论可以和A无关， 可以隐去AC,AD,  即如图，有上述恒等式。 可以理解为退化的六边形BGHIDC相间三边乘积相等。 由正弦定理即可证明。 此恒等式叶中豪老师经常提到，可以说是帕斯卡定理结构的精髓所在， 由此结论即可证明帕斯卡定理。 凭感觉，两个比例式应该是等价的。这个不难证明。 由正弦定理：  从而需证  此即为此帕斯卡结构中的恒等式。 将上述思路整理一下，可以发现不需要使用帕斯卡定理， 只要使用正弦定理，由同一法或者利用对称性即可得证。 具体证明过程如下：  证明： 设BE,CF交GH于I，由正弦定理： 从而两圆关于I点位似,则MIN共线， 对称的，有CIF共线, 从而BE,CF,MN共点于I。 上述证法是按我的思路写的，为第一种证法。网上各路高手也纷纷给出了精彩纷呈的解法。 金春来老师指出这是一个经典的问题，他三年前给学生讲过，他的证明如下，此为证法二。 他的基本思路是利用三角形的位似证明的三点共线。 姚佳斌老师指出，此题等价于他前段时间在我们爱几何上发表的下题： 顾冬华老师对姚佳斌老师这个题的证明辅助线如下： 不难发现，顾冬华老师和金春来老师英雄所见略同，都是作出两个圆与对边交点，使用位似证明的三点共线，两种解法异曲同工，基本算是同一种解法。 占岩老师也给出了他的解答，如下。 占岩老师一向文思敏捷、惜墨如金，前面估计省去了sin，读起来有点拗口。他的大体思路估计和我的类似，也是通过正弦定理计算完成的。不过他是通过证明和相等的两组锐角正弦比相同得到等角的。此为证法三。 赵力医生给出了几篇参考文献[1][2]，文献指出此问题为Dao Thanh Oai于2014年贴出的如下结论（有人称为Dao定理）： 2、如下图，圆内接六边形交成的六个小三角形，相对三角形外心连线共点。 试题1为试题2的一个引理。有了1，结合角元塞瓦定理即可证明2. 当然此类问题都和帕斯卡定理有关。下面介绍帕斯卡定理的常见的三种证明方法。 3、帕斯卡定理：圆内接六边形对边交点共线。 证法一：设GI交CD,AF于H，H',由正弦定理: 由于此表达式关于DC,FA对称，故H,H'重合，即结论成立。 证法二： ∠DEF=∠DCF=HMF, ∴DE//HM, 同理HN//AB,MN//EB, ∴△GBE与△HNM位似且I为位似中心， ∴GHI共线。 证法三：设各角如图，显然有 结合角元塞瓦得 故∠DHG=∠CHI，则GHI共线。 不难发现，题1的三种证明恰好与帕斯卡定理的三种证法对应，思路和手法几无二致。这不是巧合，其实很多难题的证明或明或暗的来源于一些经典定理的证明。这也展示了大定理的威力，所谓钻之弥深，仰之弥高。大定理的各种证明都蕴含着相应的精妙思路，灵活运用这些方法往往能够解决一些看似新颖的难题。所以对于大定理，我们不能只知道结论，也不能满足于了解一种证法，还要掌握多种证法，并在解题中发现其本质，灵活使用这些证法来解决一些“新题”。 参考文献 [1] 《A Purely Synthetic Proof oed with a Cyclic Hexagon》 Telv Cohl Forum Geometricorum Volume 14 (2014) 261–264. [2] Dao’s Theorem on Six Circumcenters associated with a Cyclic Hexagon， Nikolaos Dergiades， Forum Geometricorum Volume 14 (2014) 243–246. |
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