几何画板解析2017年甘肃省天水倒二（几何背景）

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 (甘肃·天水)△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；

（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．

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【图文解析】

（1）简析：如下图示，

       由AB＝AC和AP＝AQ可得BP＝CQ，通过SAS，不难得到证明.

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（2）如下图示，

图中有典型的“一线三等角”基本图如下：

       通过“三角形的外角等于不相邻的两个内角和”不难证明∠1＝∠2，∠3＝∠4.因此△BPE∽△CEQ.

       由△BPE∽△CEQ可得了BP：CE＝BE：CQ，再将BP=2，CQ=9，BE=CE代入，得BE²=18，解得BE=CE=3×根号2，所以BC=6×根号2．

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【变式拓展】

       改变图形位置，两三角形相似的结论仍然成立，同时保持BP×CQ＝BE²＝CE²＝1/4BC².如下图示：

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