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本图文，观点比较新颖，讲解比较独到。我所推出的多种解法中，有的解法在网页上保证您查不到。对您拓展思路、创新思维大有裨益，是中考毕业班同学复习预习的好资料，也是中考毕业班教师的好参考。 四川内江数学中考 我一贯以原创、详细、创新著称，请您关注。 点P为正方形ABCD的对角线AC上一动点（不与A、C重合）连接BP，将BP绕B点顺时针旋转90°，得到BQ，直线PQ交BC于点E，交AD于点F。 （1）求证AP=CQ； （2）若AP:PC=1:3，求CE:BE； （3）求证PF=EQ。 第一问解析： 证明AP=CQ，凡是在旋转 情形下让证明线段相等， 通常利用什么？全等！ 注意什么？两点：①旋转角， ②旋转后相等的线段。 追求目标 只要平时养成善于反思总结， 就能逐步达到一见题就有思路！ 如本题，很快就想到通过证明 △BQC≌△BPA（SAS）， 往下，就该快速形成卷面了。 如何快速形成卷面？ 下文有详细讲解。 第二问解析： 求CE:BE，如何建立思路？ 凡是让求线段的比， 首先要想到什么？ 相似，平行，面积之比等。 以下，请您细看具体讲解， 掌握每种解法的精妙之处。 解法一：坐标法。 如下图，以点A为坐标原点， 建立平面直角坐标系。 先求出直线PQ解析式， 再求出点E的坐标，就知道 CE和BE各是多少了。  解法一 过点P作PG⊥AB于点G， ∵AP:PC=1:3，PG∥BC， ∴AG:GB=1:3。 故设点P坐标为 （p，p），p＞0， 则正方形的边长为4p， 过点Q作QH⊥x轴于点H， 由Rt△BQH≌Rt△PBG知， BH=PG=p，QH=BG=3p， ∴点Q坐标为（5p，3p）。  解法一续 解法二：利用相似。 如图过点P作PG⊥AB于点G， AP:PC=1:3，PG∥BC， 故AG:GB=1:3，设AG=p， 则GB=3p， BP=BQ=根号10倍的p。  解法二 ∵∠3=∠4=45°，∠2=∠2， ∴△BQE∽△BCQ，  解法二续  解法三  解法三  解法三续  解法四  解法四 如何找相似条件呢？ 由三角形内角和知 ∠CEP+∠2+∠6=180° 由平角定义知 ∠APB+∠5+∠6=180° 以上两式中∠2=∠5=45°， ∴∠CEP=∠APB。 而∠2=∠3， ∴△CPE∽△ABP。 解法五：利用相似。  解法五续 ∠5=∠6=45°是成立的， 还需找一组对应角， ∠4=∠H不容易表述，不如 找∠7=∠8。  解法五 由三角形外角定义知： ∠7=∠3+∠9， ∠8=∠3+∠5， 而∠9=∠5=45°， 故∠7=∠8，结合∠5=∠6， 解法五续 考场上，讲究的是快速拿下，别介意自己的方法是简是繁。只要写清步骤、字迹工整就行！本题第二问，我所推出的5种解法，保证您在任何网页查不到。 解法六： 估计网页上应该有这种解法。 辅助线如图，简要思路是： 解法六 由PC求出CN， 由PQ求出BM， CN:BM=CE:BE。 第三问解析：求证PF=EQ。 思路一： 让求证中的PF和EQ分别和PE挂钩！ 正方形中AF∥EC， 故PF:PE=AP:PC=1:3--① 如果能证出CQ:PE=1:3就行了！ 过点Q作QL∥BC交AC的 延长线于点L， 思路一 则内错角∠2=∠4， 同位角∠3=∠L， 而∠2=∠3， ∴∠4=∠L， 故CL=CQ。 而AP=CQ已证，∴CL=AP。 ∵AP:PC=1:3， ∴CL:PC=1:3。 ∵QL∥EC， ∴EQ:PE=CL:PC=1:3--② 由①②知，PF=EQ。 思路二：利用全等。 作PM⊥DA于点M， 作QN⊥CB于点N， 则△PAM和△QCN均为 等腰直角三角形，且AP=CQ， ∴PM=QN。 思路二 由内错角和对顶角知∠2=∠4， 故Rt△PMF≌Rt△QNE（AAS）， ∴PF=EQ。 思路三：利用全等。 思路三 过点Q作QR∥AC交CB于点R， 由内错角和对顶角知∠2=∠3， 又∠5=∠6=45°， QR=CQ=AP， ∴△PAF≌△QRE（ASA）， 故PF=EQ。 思路四：利用全等。 思路四 过点P作PS⊥FQ交AB于点S， 连接FS，则△PFS等腰直角。 进而再证明△APS≌△CQE或 △PSB≌△QEB。 您学校有足球课吗？ 平时不做过多题，钻研透彻一道典型题，掌握多种解法技巧，提高学习效率。 |
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