阿波罗尼斯圆是什么。？

阿波罗尼斯（Apollonius）圆，简称阿氏圆。
[编辑本段]定义
　　在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ， 当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。设M、N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点，则MN为阿波罗尼斯圆的直径，且MN=［２λ／（λ^2-1）］AB。
[编辑本段]证明
　　我们可以通过公式推导出AN的长度：AN:BN＝AP:BP ，其中BN=AN+AB，所以AN:(AN+AB)＝AP:BP=>AN=AP×AB÷(BP-AP)，以NP为直径的圆就是我们所求的轨迹圆。
[编辑本段]性质
　　由阿波罗尼斯圆可得阿波罗尼斯定理，即：
　　设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、ma(a为下标，下同）、mb、mc，则有以下关系： 
　　b^2+c^2=a^2/2+2ma^2； 
　　c^2+a^2=b^2/2+2mb^2； 
　　a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。

阿波罗尼斯圆：一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆。
这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
这个定理的证明方法很多。下面是笔者的分析与证明，希望读者喜欢。
如图，P是平面上一动点，A、B是两定点，PA∶PB＝ m∶n ，M是AB的内分点（M在线段AB上），N是AB的外分点（N在AB的延长线上）且
AM∶MB＝AN∶NB＝m∶n，则P点的轨迹是以MN为直径的圆。
下面先证明两个定理：
一、如图一，已知M是BC上一点，且AB∶AC＝BM∶MC，
求证：AM平分∠BAC（三角形内角平分线定理的逆定理）
证明：过C点作CD∥AM交BA的延长线于D，则AB∶AD＝BM∶MC
∵AB∶AC＝BM∶MC，∴AB∶AD ＝AB∶AC，∴AC＝AD，
∴∠D＝∠3，∵CD∥AM，∴∠1＝∠D，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AM平分∠BAC。
二、如图二，N是BC延长线上一点，BN∶CN＝AB∶AC，求证：AN平分∠BAC的邻补角∠EAC
证明：∵CD∥AN交AB于D，则BN∶CN＝AB∶AD，∵BN∶CN＝AB∶AC，∴AB∶AD＝AB∶AC，AD＝AC，∴∠3＝∠4，∵DC∥AN，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴AN平分∠BAC的邻补角∠EAC
有了上面的证明，阿波罗尼斯圆定理的证明就不难了，证明如下：


连结PM、PN，∵M为AB的内分点， PA∶PB＝AM∶MB ＝m∶n，∴PM平分∠APB
∵N为AB的外分点，AN∶BN＝PA∶PB ＝m∶n，∴PN平分∠BPE，
∵∠APB＋∠BPE＝180o，又∠2＝∠APB/2，∠3＝∠BPE/2，
∴∠2＋∠3＝（∠APB＋∠BPE）/2
即∠MPN＝90o，∴动点P到MN的中点O的距离等于MN（定值）的一半（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆

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