【原】【第二十一期·格物一】几何中的圆——阿波罗尼斯圆（李厚德同学）

对于所有高中生来说，数学这门学科，都是一座必须要翻越的山。而在这大山里，就有这么一段陡峭的路，名叫：几何。

几何，无数老师口中的简单，无数学生心中的痛。

所以今天，我们决定，就解析几何中的一个小点，为大家日常解题提供一点思路。

在高中，我们接触到了椭圆与双曲线。我们知道：

到两定点的距离之和为定值(比这两点之间的距离要大)的点的轨迹为椭圆。

到两定点的距离之差为定值(比这两点之间的距离要小)的点的轨迹双曲线。

那么圆呢？

于是，阿波罗尼斯圆，出现了。

阿波罗尼斯圆（又称阿氏圆）的本质是到两定点的距离之商为定值的点的轨迹。

整理一下，它的定义如下：

已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。

简化一下，阿氏圆提出的问题就是：

已知：PA/PB=k，求证P的轨迹在一个定圆上。

几何证明图像如下：

但若想通过几何方法证明，则需要先证明另外两个东西。

第一个：

N是BC延长线上一点，BN：CN=AB：AC，求证AN平分∠EAC（∠BAC的邻补角）

证明过程：

∵CD∥AN交AB于D，则BN∶CN＝AB∶AD

又∵BN∶CN＝AB∶AC

∴AB∶AD＝AB∶AC，AD＝AC

∴∠3＝∠4，∵DC∥AN

∴∠1＝∠3，∠2＝∠4

∴∠1＝∠2

∴AN平分∠BAC的邻补角∠EAC

第二个：

已知M是BC上一点，且AB∶AC＝BM∶MC，

求证：AM平分∠BAC

证明如下：

过C点作CD∥AM交BA的延长线于D

则AB∶AD＝BM∶MC

又∵AB∶AC＝BM∶MC

∴AC＝AD

∴∠D＝∠3

又∵CD∥AM

∴∠1＝∠D，∠2＝∠3

∴∠1＝∠2

∴AM平分∠BAC

有了上面的证明，阿氏圆的几何证明就会轻松很多。

证明过程如下：

连结PM、PN

∵ PA∶PB＝AM∶MB ＝m∶n

∴PM平分∠APB

又∵AN∶BN＝PA∶PB ＝m∶n

∴PN平分∠BPE，

∵∠APB＋∠BPE＝180°，∠2＝∠APB/2，∠3＝∠BPE/2

∴∠2＋∠3＝（∠APB＋∠BPE）/2＝90°=∠MPN

∴P到MN的中点O的距离等于MN（定值）的一半（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。

当然，这是初中知识就能做出的几何证明。高中阶段可以建系直接用点的轨迹方程证明。

但根据几何证明的过程，我们可以得出阿波罗尼斯圆有如下性质：

1.当k>1时，点B在圆O内，点A在圆O外；当0<k<1时，点A在圆O内，点B在圆O外。（点与圆的位置关系）

2.因AC²=AP·AQ，过AC是圆O的一条切线。若已知圆O及圆O外的一点A，可以作出对应的点B，反之亦然。（射影定理）

3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为PQ=2ak/|k²-1|，面积为Π（ak/k²-1）²。

4.过点A作圆O的切线AC（C为切点），则CP,CQ分别为∠ACB的内、外角平分线。

5.过点B作圆O不与CD重合的弦EF，则AB平分∠EAF。

由此，我们可以将阿氏圆应用到许多题目（主要是选择和填空的最后一道）中去 。

比如：

已知P点在边长为2的正方形ABCD的内切圆上运动，则 AP+√2 BP的最小值是_______。

当然，在这里，我就先不将题目答案给大家展示了。只是说，对于这种圆与最值的问题，如果没有思路，就试试阿氏圆吧。往往会有意想不到的效果。

最后，希望大家在高中阶段的数学学习可以一帆风顺！不要被几何难倒！