惊喜|一道典型的分类讨论压轴题

【题目】

（14·金华）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．

（1）若AE=CF．

①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；

②若AE=2，试求AP·AF的值；

（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．

【答案】

解：（1）①如图，∵△ABC是等边三角形，

∴∠C=∠BAC=60°, AB=AC，

又∵AE=CF，

∴△AFC≌△BEA (SAS)，

∴AE=CF,

∠1=∠3，

∵∠4=∠2+∠3，

∴∠4=∠2+∠1=∠BAC=60°,

即∠ APB=180°-∠4=120°.

② ∵ ∠C=∠4=60°，∠PAE=∠CAF,

∴ △APE∽△ACF,

∴AP\AC=AE\AF，即AP\6=2\AF，所以AP·AF=12.

（2）若AF=BE,有AE=BF或AE=CF两种情况.

当AE=BF时，如图2，此时点P经过的路径是AB边上的高线CH.

在Rt△AHC中，CH=√3\2AC=3√3,

∴此时点P经过的路径长为3√3 .

当AE=CF时，如图3，点P经过的路径是以A，B为端点的 圆弧，且∠APB=120°,则圆心角∠AOB=120°，

过点O作OG⊥AB, 在Rt△AOG中，∠AOG=60°，

OA=AG\sin60°=2√3，

∴l=nπr\180=4√3π\3.

∴此时点P经过的路径长为4√3π\3.

所以，点P经过的路径长为3√3或4√3π\3.

如图4，当点E从A运动至C过程中，点F先向C运动至BC中点再返回时也满足情况AF=BE，此时点P的运动路径为2√3+2√3π\3.

图4

如图5，当点E从A运动至C过程中，点F先向B运动至BC中点再返回时也满足情况AF=BE，此时点P的运动路径为√3+2√3π\3.

图5

备注：

当AE=CF时，必然有AF=BE，但是当AF=BE时就不一定有AE=CF，

如上图所示，会分为两种情况。当点E从上往下运动时，点F的运动情况就是4种了，所以会产生各种问题。

由于没有几何画板的电脑软件工具帮忙，很难想到有这么多种情况。一般解法就是想出两种，不信可以百度一下，到各大网站看看。比如菁优网和中考网。

惭愧，一道题目做了三年，竟然没有做对

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