|
学习到等边三角形时，经常会碰到下面这个基本的图形。 【基本图形】 如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．求证：①△ADC≌△BEA；②BP＝2PQ．
第①问为基本的全等证明，第②问在第①问基础上先导角得到∠BPQ=60°，再运用30°角直角三角形性质，比较容易得到BP=2PQ。 【变形1】基于【基本图形】的认知，除了△ADC≌△BEA全等外，还可以证明△ABD≌△BCE，对图形的条件进行充分挖掘，设定BP⊥CP，将全等的证明环节隐藏，得到【变形1】 如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD与BE相交于F，CF⊥BE．求证：BF＝2AF．
从∠BFD=60°结论入手，很自然可以想到过B作AD的垂线，通过证明△ABK≌△BCF，可得BF=AK=2FK，从而得到F为AK的中点，所以BF＝2AF．
【变形2】几何题中将部分条件和结论互换后，是否仍成立，基于这个想法，得到【变形2】 如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD与BE相交于F，BF＝2AF，求证：CF⊥BE．
依然从2倍进行突破，继续过B作AD的垂线，得到F为AK的中点，所以BF=AK，再证明△ABK≌△BCF，得到CF⊥BE．
【变形3】通过上述图形中BF=2AF继续深度考虑，继续发现隐藏的结论 如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD与BE相交于F，BF＝2AF，求证：BD＝2CD．
此问方法较多，可以从2倍出发，观察△ABF好△ACF，可以取BF的中点，通过全等可以得到△ABF的面积为△ACF面积2 倍，从而转化到高的比为1:2，得到△BFD的面积为△CFD面积的2倍，从而推出BD＝2CD．（更多方法欢迎大家进群交流研讨）
【变形4】在【变形3】的证明过程中，为了降低题的难度，可以逐步设问，引导学生去说明两三角形面积之间的关系，得到【变形4】 如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD与BE相交于F，BF＝2AF，求证：
方法不赘述，与【变形3】基本一致 【变形5】还是基于条件和结论互换后，是否仍然成立。先给出BD=2CD，要求去证明BF=AF 如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD与BE相交于F，BD＝2CD，求证：①BF＝2AF；②BF⊥CF．
可以通过BD=2CD得到△ABF的面积为△ACF面积2 倍，截取BM=AF，通过全等说明△ABF的面积为△ABF的面积的2倍，所以BF=2BM=2AF。（还有另一种比较常见的方法为以B为顶点构造一个等边三角形，运用角平分线定理进行处理）
【变形6】【基本图形】的图形为等边三角形为背景，由特殊到一般进行探究，发现只需要满足∠BFE与等腰三角形的顶角相等，且∠BFE为∠CFE的两倍关系，结论依然成立。 如图，△ABC中，AB＝AC，M、E分别为AC、BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求证：
方法不赘述，可以与上面的方法保持一致，大家可以自行思考。 【变形7】在【基本图形】的基础上增加中点的条件，得到新的结论 如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD与BE相交于F，点M为AB的中点，求证：∠BFM＝∠CFD，∠AFM＝∠CFE．
由中点进行倍长处理转移边角关系，再构造全等，通过构造等边三角形BFN从而可得△BFG≌△NFC，所以∠BFM＝∠CFD，再由∠AFB=∠DFE=120°，所以∠AFM＝∠CFE
【变形8】前面取AB的中点，将中点的位置进行变化，取AC的中点，给予一个特殊角产生新的结论 如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD与BE相交于F，点G为AC的中点，∠BFG＝120°，求证：AF＝2FG．
构造等边△AFN，连接CN，延长EG交CN于M，易得△FNM为等边三角形，△AFG≌△CMG，所以AF＝2FG．
【变形9】将上题中的角度进一步分解，设置两个角的角度，隐藏中点的特殊条件，从而产生新的结论 如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD与BE相交于F，点G为AC上一点，∠BFC＝90°，∠CFG＝30°，求证：AG⊥BG．
最后一个题供大家思考，方法和上面的非常类似 |
|
|
