初中数学｜平面几何的模型与方法系列分享（八） “两形”之等边三角形7

师训君评

上篇文章，作者讲解了“构造等边三角形来解题“，一共介绍了两种类型：

1、看到60°或120°，可以尝试构造等边三角形解题

2、看到30°或150°，可以尝试构造等边三角形解题

这一次，作者将继续讲解另外一种可以构造等边三角形来解题的几何模型。

上一次，我们讲到了”等边三角形和两条线段的故事”，重点是下面这个模型：

3

看到100°、40°、40°的等腰，可以尝试构造等边三角形解题

如图，100°、40°、40°的等腰三角形是一个经典的命题模型，利用这个模型作为载体的几何体，无论是考察线段的证明还是角度的计算都有些难度，所以经常作为竞赛的命题模型。

以这个模型为载体出的题目，通常可以“尝试”构造等边三角形来解题，当然，解题方法也不止一种，我这里主要强调构造等边三角形的方法。

命题1

已知，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=100°,旋转AC到DC，使得∠ACD=20°.

求：∠DBC的度数。

解法

我们首先来分析一下角度关系，看到图中∠ACD=∠BCD=20°，如果我们构造一个60°，就会再多出一个20°，就有可能出现全等三角形。

比如，我们尝试以AC为边构造一个等边三角形△ACE。

此时，∠BCE=∠BCD=20°，可以根据“边角边”证明△BCE≌△BCD。

然后，我们再分析角度关系发现：∠BAD=∠EAD=20°，AB=AE，可以证明△BAD≌△EAD。

从而，可以证明△BED是等边三角形。

最后，通过∠CBD=∠CBE=30°解决问题。

当然，我们还可以选择不同的边，从不同的方向来“构造等边三角形”来解题.

比如：

以DC为边向下构造一个等边三角形△DCE;

以BC为边向上构造一个等边三角形△BCE：

以AB为边向下构造一个等边三角形△ABE：    

以AC为边向上构造一个等边三角形△ACE：

以AB为边向上构造一个等边三角形△ABE：

以上图形，以不同的边向不同的方向构造等边三角形，都可以让学生来尝试证明，以便巩固这种解题方法。另外，还有几种解法我没有列出来，请读者自行思考一下吧。

但是，我们还需要和学生讲清楚，并不是所有的方向构造等边都可以解题，比如下面这种情况就不能求解：

因为这种情况构造的等边三角形无法和已知的条件进行有效的“配合”，这就有点像“下象棋”一样，需要在决定“走哪一步棋”之前，预先思考这一步棋能否和之后的全局情况形成有效的配合。

接下来，我们再看两道题不同的出题方式吧。

命题2

在三角形△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AD=BC，求：∠BCD的度数。

解法

以AC为边向上构造等边三角形△ACE，连接BE.

如图，很容易证明△DAC≌△BCE.

又因为△BAE是顶角为160°的等腰三角形.

最后，我们来分析一下角度关系，∠AEB=10°, ∠BEC=50°，所以∠BCA=50°,

得出所要求的∠BCD=10°.

此外，还有几种从不同线段不同方向构造等边三角形的解法，我们就不详细讲了。 

以BC为边向下构造等边三角形：

以AB为边向上构造等边三角形：

以AC为边向下构造等边三角形：

以AD为边向下构造等边三角形：

等等……可以考虑以不同的线段来构造等边三角形解题。

不过依然需要注意，并不是所有情况都可以求解，需要注意构造的等边能否和已知条件进行有效配合。

最后，我在给大家介绍本节课的最后一道题，有点难度哦~~你可以先在这里停下来，先试着自己想想怎么证明，然后往下看我给出的参考解法。注意，要使用构造等边三角形的方法哦，虽然这道题的解法不止一种。

命题3

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点P在∠BCA的角平分线上，且∠PBC=10°，

求∠APB的度数.    

如下图:因为PC平分∠BCA，联想到利用角平分线的全等模型，延长CA至E，使得CE=CB，连接BE，延长CP和BE相交于F.

易证：△EPC≌△BPC，所以BP=EP，且∠BCA=40°，所以∠EBC=70°，而∠PBC=10°，所以∠PBE=60°，证明出△BPE是等边三角形。

需要说明的是，如果一开始直接以BP为边构造等边三角形△BPE，则不容易证明E、A、C共线。

“

这里可以这么理解，首先尝试以BP为边构造等边三角形△BPE，但是发现共线不好证，于是采用延长CA的方法来间接构造等边三角形△BPE.

因为△BPE是等边三角形，所以BP=BE，∠PBA=∠EBA=30°，所以△PBA≌△EBA，于是AE=AP，∠AEP=∠APE =10°。

最终得出：∠APB=70°.

总结：

在本章内容中，我们的主题依然是“构造等边三角形解题“，介绍的模型是“100°、40°、40°的等腰”。

我在文中给出的三道题都是非常经典的例题，每一道题又有很多种解法。

我们这里主要给出的还是构造等边三角形的解法。

通常来讲，构造等边三角形之后，都能够根据角度之间的关系，证明出全等三角形或者新的等腰三角形，然后通过倒角解决问题。

虽然这个模型也可以有对称和旋转等其他解法，但是尝试构造等边三角形也是非常重要的解题方法。如果以某条线段来构造等边三角形发现不好解题，换一个方向或者线段来尝试就好。

 

最后，还是希望各位读者能够继续给我鼓励，让我不断写下去。请多多在文章末尾点赞，或者写点评论啥的，或者给我一些反馈，哪些地方可以改进，这样也是极好的。

 

未完待续，我们下期再见！

下期内容预告：

初中数学|平面几何的模型与方法系列分享（九）“两形”之等边三角形8

关于作者

樊浪，新东方优能中学推广管理中心资深产品架构师，新东方教育科技集团中级教学培训师，新东方二十周年功勋教师，中考数学辅导专家。