|
前几天，在微头条上发表了一道试题的7种证明方法，今天就以这道题目为例，来谈谈证明题的思考途径——线段（角）的相等。这类试题真的是最基础的证明题！ 原题如下：正方形ABCD中，E是CD的中点，F是DA的中点，连接BE、CF，它们相交于P（如图所示）。求证：AP=AB。 我们作图给出七种证法的思考过程： 构造全等：图一、图二、图三；证ABP等腰，图四；巧作中垂线，图五；计算方法2钟：余弦定理（这个可以不用作图），勾股定理（图六）  图一  图二  图三  图四  图五  图六 从例题的各种证法，可以总结如下三条证明线段（角）相等的思考途径： 一、构造全等形 利用全形的对应边（角）相等。我们可以将欲证其相等的二线(角)看成对应边(角)，试着去构造两个适当的三角形，然后去证明它们全等以达我们的目的。 构造所需的全等形，说起来轻松、容易、做起来往往困难重重，从上例和其他一些题目中，所构造的全等形，常常不是出现在最初的证法中。凭此，也足可以说明:全等形有时造之不易。因为全等形一旦构造出来，相应的证法，往往具有思路清晰、结构紧凄和过程简明的优点，因而也易于流传。至于如何去造所需的全等形，实无定法、不过根据个人长期解题每有发现时，而悟出的如下两点心 得：(i)抓住关键，尽量发挥题设的特点 (i)集中有关的点、线，使之产生联系，使之充分发挥作用。 解题之难，常在抓不住要害，因为抓不住关键，就势必误入歧途，不是行不通，就是在次要的地方兜圈子，自然难以进展.如果能说迎刃而解，这“刃”正是关键，因此，抓住问题中起决定作用的条件，尽量的利用它、发挥它，把注意力集中在题目中起决定作用的地方，犹如刀用在刀刃上，定会收到较好的效果.譬如前面的例1，抓住条件引申出的垂直关系(BE⊥CF)并充分发挥，多种证法随之而出。 解题之难，也发生在题目的条件、结论过于分散和孤立，因而不易看出其间的联系，以致不好下手，这时不妨试探着：把条件集中，以求共同发择较大的作用；把条件与结论，结论之间的点线集中起来，以求发现和沟通其间的联系。 二、利用能产生线段（角）相等的定理 以上例题的多种证法中，不难看出:构造全等形只不过是证相等的手段之一。普遍地说，凡是结论中出现线段(角)的定理，都可以用来作为证明相等的工具。 这些定理，我们就不一一说了，定力是基石，必须要熟练掌握。 三、借助计算 几何图形的大小、形状和位置关系，都可看作数量或数量关系。因此，许多儿何题目也可以通过计算而达证明的目的，如上面的证法（勾股定理、余弦定理），使是靠计算线段之长而肯定它们相等的。 计算途径太致有こ:一是通过坐标把几何问题转化成代数对象(坐标、方程······）再经代数运算加以解决后，再回到几何上去；二是依靠几何中用定理反映的某些公式（如勾定理、正弦定理、余弦定理······）去计算线段和夹角，从面达到证明的目的，前者属于解析几何的研究对象，后者正是几何固有的内容和方法。 初等几何一直以严密的推理为其显著的特点，希望大家多总结、多思考，逐渐形成严密的逻辑！今天我们就聊这么多吧。 |
|
|
