微积分三板斧

林群（中国科学院院士、计算数学专家）

微积分之所以重要，一是奇特，一是有用。它解决生活中难题，如高铁的瞬时速度、建筑的面积，这些本属“无穷”的计算，不可能实现，但微积分却创造出奇迹，将这些“无穷”的计算变成举手之劳。

而传统教材却将此惊天成果，表达为数百的定理与公式、无尽的证明与推理，令人望而生畏。我们抓纲放细，将之归结为三把斧或三步曲：

一、关键的第一步：瞬时速度怎么算——假传万卷书，真传一案例，一本万利

以高铁为例，若车速都是相同的，则速度=，若车速在变化，要测瞬时（即每一时刻）速度，就出现，怎么算？

只能变通为，由一小段路程的平均速度，来算，因为在短时间之内，瞬时速度与平均速度相差不大（没有时间去加速太多∴速度变化不会大）。

为此，大胆设想两者之间的

差别=|平均速度-瞬时速度|，与时间长短成比例

或               

差别≤时间的一个倍数

——（1）

（此情况在多例中发生，故靠得住——见后面例题。）

这时事情显得比较清楚：当时间很短，差别就很小。

二、功夫在第二步：曲边图形的面积怎么算

让（1）×时间：

|路程-瞬时速度×时间|≤(时间)2的一个倍数              

——（2）

则相应会有

|路程-速度图的面积|≤(时间)2的一个倍数            

——（3）

（或速度图的面积≈某一时刻速度×时间）

最后，反证法又导致基本定理

路程=速度图的面积                         

——（4）

由此能推出（不超四行）

三、奇特的第三步：泰勒公式，将非线性世界尽量“线性化”

以上三步，又称微积分三板斧，可译成以下三公式（5）（6）（7）。

我们提倡数学文风：先文字后符号，先解释后公式，先讲理后定理。

首先，文字译成符号：

路程译成f(x)，时间增量h＞0，瞬时速度译成g(x)。（2）译成

——（5）

由此会有（3）或 

——（6）

又导致（4）或

——（7）

它表明：面积既然都写出来了，那就是存在；此外，它必等于f(x+h)-f(x)，那就是唯一。

结果，油饼面积（二维）变油条高（一维），奇特、有用！

作者：林群、张景中；中国科学院数学与系统科学研究院供稿