九年级数学：巧作平行线得中点，多结论正误判断题例析3

题目：

解析：

∵矩形中AD∥BC，

∴LEAF=LBCA，

∴Rt△AEF∽Rt△CAB。①正确。

由结论①得：AE：CA=AF：CB，

CA·AF=AE·CB=AE·2AE=2AE^2。

∵Rt△ABF∽Rt△ACB，

∴AF：AB=AB：CA，

CA·AF=AB^2，

∴AB^2=2AE^2，AB=√2AE=CD。

在Rt△CAD中，tanLCAD=CD：AD=√2AE：（2AE）=√2/2，可知②错误。

如下图，过点D作DN∥EB，交BC于点N，交FC于点R，且DR⊥FC。

又ED∥BN，故四边形EBND为平行四边形，BN=ED=1/2BC，

∴点N为BC中点。

∴点R为FC中点，又DR⊥FC，

∴DF=DC，③正确。

由AAS易证Rt△CRN≌Rt△AFE，得RC=AF。又RC=1/2CF，故AF=1/2CF，即CF=2AF，④正确。（也可利用三角形相似，得比例线段，寻找结论。）

总之，正确的结论有①③④，故选C项。

小结：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解三角形、中垂线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点。作平行线，得中点，是本题重头戏。