试题内容
如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,∠CBE=45°,BE分别交AC、AD于点E、F,AF=BC.
求证:BF+EF=AE.
解法分析
BF的转化
根据“等腰三角形三线合一”可证:
AD垂直平分BC.
连接CF,由线段垂直平分线的性质,
证明:CF=BF,
进而证明:∠BCF=∠CBE=45°,
所以:∠BFC=∠EFC=90°.
AE的转化方法1
平行线+全等三角形
黄彦妮(4班)
任轩岩(16班)
过点C作AD的平行线交BE的延长线于点G,
易证:∠BCG=90°,
进而证明:△BCG是等腰直角三角形,
所以:GC=BC=AF,
根据AAS证明:△AEF≅△CEG,
所以:AE=CE,
在Rt△EFC中,
CF+EF=CE,
所以:BF+EF=AE.
证明四边形AFCG是平行四边形亦可.
AE的转化方法2
平行线+平行四边形
周思彤(4班)
孔祥瑞(15班)
过点A作BC的平行线交BE的延长线于点G,连接CG,
易证:∠FAG=90°,∠G=∠CBE=45°,
所以:△FAG是等腰直角三角形,
所以:AG=AF=BC,
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”
证明:四边形ABCG是平行四边形,
所以:AE=CE,
在Rt△EFC中,
CF+EF=CE,
所以:BF+EF=AE.
证明△AEG≅△CEB亦可.
AE的转化方法3
截长+全等三角形
王平(15班)
在BE上截取BG=EF,连接CG,
根据SAS证明△AEF≅△CGB,
所以:AE=CG,∠1=∠2,
根据等角的补角相等,
证明:∠3=∠4,
所以:CE=CG,
根据等腰三角形三线合一,
证明:EF=FG,
在Rt△CFG中,
CF+FG=CG,
所以:BF+EF=AE.
再思考
①延长CF交AB于点G,点G为AB的中点.
②点F是△ABC的重心,AF=2DF,BF=2EF.