压痕应变法应力计算函数和低合金钢力学性能的关系

0 序 言

压痕应变法[1-3]是根据球形压痕诱导产生的应变变化信息(称为压痕应变增量(Δε))，通过事先获得的应力计算函数计算相应的残余弹性应变，再利用广义胡克定律获得残余应力的一种近乎无损的应力测试方法. 其理论基础可以归结为两条基本规律：(1)相同应力场中，主应变方向上距压痕中心固定距离处产生的应变增量与压痕直径成正比；(2)相同尺寸压痕直径，在主应变方向产生的应变增量 (Δε)与弹性应变 (ε)成正比. 依据第 (2)条规律，在施加不同应力水平的标定试板上，通过粘贴应变片和制造一定尺寸的压痕，获得应变增量与弹性应变的对应关系，即压痕应变法的标定曲线，通过曲线拟合方法获得相应的应力计算函数. 目前，应力计算函数的获得主要通过试验标定的方法，其首要条件就是用户能提供符合标定尺寸的试板，而试板的原始应力状态和实际施加的应力水平又是影响标定结果准确性和稳定性的关键因素. 文献[4-6]曾采用模拟计算的方法，研究材料性能参数对标定曲线的影响规律，但是鉴于模型的局限性，未能在实际测量中得到应用. 文献[7-8]建立了可以准确获得大部分金属材料标定曲线的通用模型，并与标定结果进行了比对分析，发现采用零应力条件下的简单压痕试验，结合数值模拟计算就可以得到与试验标定曲线十分一致的结果. 该方法不需要准备大尺寸试板和进行复杂的标定，也避免了试板应力状态的不确定性给标定结果造成的影响.

由于交通载荷属于动荷载，将其转化为静荷载进行量化很难。笔者提出在顶管顶力影响区域内的轴载每秒累计作用次数Ne作为交通载荷组合的最不利因素，则交通载荷作用转化为静荷载如式（5）：

基于已有结果，文中进一步研究了不同强度类型的低合金钢类材料，应力计算函数的存在形式及相应的应力计算常数与材料力学性能之间存在的规律性，探讨在获得材料拉伸力学性能数据情况下，如何通过零应力下的应变增量直接获得应力计算函数的方法，进一步解决确定新材料应力计算常数时的非试验标定问题，同时避免了复杂的数值模拟过程.

1 有限元模型建立

考虑到形成压痕的尺寸效应，压头的良好接触，准确的压痕形状和较经济的运算速度，试板模型大小设为 48 mm × 48 mm × 4 mm，压痕周围区域的单元划分较为密集，最小单元尺寸0.04 mm ×0.03 mm × 0.004 mm. 因为压头和试板均为对称结构，取1/4建立标定模型进行计算，见图1所示.

梦醒后依然是“行路难，多岐路”的现实，尾句虽寄予信心，却终是虚幻。十来年后安史之乱起，李白从军讨贼，有了“长风破浪”的机会，但他最终不仅未能功成身退，却因帝室的内哄受牵连而锒铛入狱，西流夜郎。返观“长风破浪会有时，只挂云帆济沧海”抒发的豪情壮志，启人深思诗人命运的无常。

1.1 材料性能参数

为了研究不同强度低合金钢类材料压痕应变法应力计算函数的存在规律及相应的应力计算函数，选取12种有代表性的工程结构钢材料，具有较广的强度范围和屈强比数值. 12种材料的弹性模量依据实际的弹性模量设置，泊松比均取0.28，材料屈服采用Von Mises准则，由实际拉伸试验获得的12种材料的屈服强度和抗拉强度见表1所示.制造压痕的压头材料采用碳化钨材料参数，弹性模量534 GPa，泊松比0.22，屈服强度设为2000 MPa.

图 1 模拟标定用模型
Fig. 1 Model for calibration

表 1 12 种材料的强度特性
Table 1 Mechanical characters for twelve materials

序号 屈服强度σy/MPa 抗拉强度σb/MPa 屈强比σy/σb 1号 250 419 0.5972号 318 631 0.5043号 336 532 0.6324号 415 567 0.7325号 555 618 0.8986号 485 572 0.9117号 747 807 0.9268号 705 731 0.9649号 303 516 0.58710号 556 675 0.82411号 619 741 0.83512号 751 1135 0.662

1.2 边界条件确定

在模型对称位置设置了位移约束，同时为了消除模型的刚体位移，将试板模型底部单元节点的z向位移设置为0. 压痕制造通过给压头施加一定大小的载荷来控制，而试板中的残余应力通过施加单元面力来实现.

1.3 压痕制造

实际压痕制造时采用的动载冲击形式，即给压头一个固定初始速度的动能，在应变片的特定位置(即应变测点)制造压痕. 文献[6-7]研究表明，对于相同大小的压痕，采用较低速度的动载方式和施加静载方式获得的应变增量几乎没有差别. 为方便起见，采用静力加载的方法获得材料的应变响应. 对于不同强度的材料，为施加准确的静载压力，还需要参照该材料实际标定时获得的零应力条件下应变增量大小，以此为基准，进而获得该材料在各种应力场条件下应变增量与弹性应变之间的具体关系，即应力计算函数和相应的应力计算常数.

2 应变增量与材料性能的力学讨论

压痕应变法测量残余应力时，压痕周围形成弹塑性应变场，而应变片粘贴区始终处于弹性变形区，如图2所示.

图 2 压痕应变法压入形变示意图
Fig. 2 Schematic of indentation deformation by indentation strain method

主应力方向上的应变增量(Δε)实际上由两部分组成：与残余应力无关的、由材料和压痕系统决定的压缩应变(Δε0)和压痕产生的塑性区诱导残余应力松弛而形成的释放应变(Δεr)，即

周小羽撕过很多次本子，都是撕下来乱涂乱画。常爱兰就骂她，真是不要好的，好的不像坏的全像来，好好的一本作业本把它撕了做什么，以后再撕就不给你买了。后来周小羽还是撕，常爱兰果然不买了，但麻糍却照样买。

在无应力的准静态条件下，根据Johnson的空腔模型[9]，压痕外弹性区的径向应力(σr)和切向应力 (σθ)表达式为

马老师课题组的研究氛围和环境让金钻明觉得十分融洽和亲切，而且很多课题已经开展了，他还想继续做下去，因此选择保研继续留在马老师课题组也是顺理成章的事。金钻明指着我们采访所在的实验室说，这间实验室的设计草图是他确定读研时画的，自己当时已经做好了在这里长期工作的准备。

式中：rc是弹塑性边界；σy为的材料的静态屈服强度；r为弹性区范围内某点到压痕中心距离. 虽然公式(2)的获得是基于理性弹塑性材料，但是，由于避开了塑性区问题，对于弹性区来说，即使在Hollomon幂次硬化模型或线性硬化模型的情况下，该式依然成立. 对应的径向应变，即Δε0为

式中：E为弹性模量；υ为泊松比.

基于体积守恒、压痕几何相似性及Johnson的扩展球腔模型(ECM)，小的球压比a/R(a-压入半径，R-压头半径)下球形压头产生的塑性区半径计算公式为[10]

厂房尾水管出口后为3.50m长的平段，然后以1∶4的反坡连接至天然河床，高程从94.91m抬高到114.00m。尾水渠底宽19.4m，矩形断面，采用一个弧段和一个直线段连接至下游河道，长约80.00m。

如果考虑加工硬化情况，将初始屈服σy用流动应力代替即

式(4)和式(5)没有考虑卸载时的回弹和残余应力的作用. 对于特定的压痕系统和被测材料，卸载回弹较小，且有稳定规律[5]，并不影响式(5)的形式. 当存在残余应力σre时，残余应力会影响塑性区半径 rc，假设修正函数为 f(σ)[4]，则

式中：0 ＜ f(σ) ＜ 1，则 σr ＞ 0；f(σ) ＞ 1，则 σr ＜ 0.

第二孔至第四孔窑洞，均为开间3.9m，进深7.7m，高3.7m的纵窑形式，室内长宽比约为2 : 1，南面开门窗，窑脸顶端开有小孔，既可通风透气，又可增加室内采光。此三孔窑中，仅有第二孔窑北侧开门通向横窑，且室内没有炕灶痕迹，应做起居室或书房使用。第三孔在窗下有清晰土炕遗迹，此间窑洞应为卧室，在北墙上有一处较大壁龛，突出墙体一砖，用来存放日常用品，并具有很强的装饰效果（图9）；第四孔窑洞北墙也有壁龛，且有暗格，是存放重要器具或账本的橱柜（图10），结合对多位较年长村民的调查问询，判断此处是售卖粮食的店铺前厅，在此处进行交易协商，之后由工人进入第五孔窑洞装载粮食，再回到此处完成交易。

对于压痕诱导的释放应变Δεr，显然与材料中的残余弹性应变(ε)有关，可表示为

对于特定的压痕测量系统，释放系数(η)与塑性区半径(rc)和应变测点到压痕中心距离(r)有关.

综上所述，可以认为在压痕测量系统确定的情况下(压入载荷和应变测点位置一定)，影响压痕外弹性区应变增量的主要因素除了残余弹性应变，与材料力学性能相关的特征变量就是屈服强度/弹性模量(即屈服应变εy)和硬化指数n. 而应变硬化作为材料塑性变形引起的硬度和强度增加的度量，如果试样拉伸过程中由屈服到发生颈缩的形变强化规律满足Hollomon方程，根据文献[11]，硬化指数n也可表示为屈服强度σy和抗拉强度σb比值(屈强比)相关的函数，即

凸轮式基质填料装置的结构如图1所示。其主要由凸轮机构、皮带输送机构、料箱、支撑板、滚筒、导料板、链传动、调速电机、机架、支撑轮、滑板和接近开关等部分组成。

式中：e为自然对数.

3 模拟计算结果与分析

3.1 12种低合金钢材料的传统应力计算函数

材料的标定试验采用KJS-3型压痕应力测试仪，参照文献[12-13]进行. 根据12种材料试验标定时获得的零应力条件下的应变增量，首先确定12种材料模拟标定时的静载压力，进而得到各材料传统形式下的应力计算函数，即应变增量和弹性应变的关系. 图3给出部分材料模拟和试验标定曲线比较结果(限于篇幅，其它材料从略)，可以看出，模拟值和试验值符合得很好，应力计算函数为典型的3次方多项式关系[12]，即

图 3 4 种材料模拟和试验标定结果对比
Fig. 3 Comparison of calibration results between simulation and experiment for 4 materials

式中：A1 ～ A3为应力计算系数，对于某一确定材料，采用特定的压痕系统时，A1 ～ A3是一常数，故也可称为其压痕应变法应力计算常数；Δε0零应力下的应变增量.

3.2 基于各材料 Δε0 确定的应力计算函数与力学性能的关系

选取12种材料作为应力计算函数与力学性能关系的研究对象. 考虑到不同强度的材料由于硬度不同，在相同冲击动能下压痕直径有所差别，导致零应力下的应变增量不同，而有应力下的应变增量与材料强度又有着密切关系，结合前面分析和模拟数据，按照有应力下的应变增量Δε与零应力下的应变增量 Δε0 之比 Δε/Δε0 随无量纲弹性应变ε/εy的变化规律作图，结果见图4. 根据图4结果，如果将12种材料的屈强比σy/σb作为材料自身的影响因素，将无量纲应变ε/εy作为应力场的影响因素，经过数据处理，可以得到如下形式的公式(相关系数 R = 0.999)，即

式中：z 为 Δε/Δε0；x 为 ε/εy；y 为 σy/σb；p1 ～ p12 为公式系数，具体数值见表2.

图 4 12 种材料标定数据变化规律
Fig. 4 Calibration laws of 12 materials

表 2 式 (10)中的系数
Table 2 Coefficients in formula (10)

p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11 p121.026 0.695 -1.229 0.973 -0.900 -0.513 -1.309 0.544 -1.210 -1.904 -1.281 1.149

由于εy和σy/σb为已知的材料力学性能参数，式(10)可直接变换成应变增量Δε与弹性应变ε的关系，即获得了一种新的应力计算函数，即

式中：B0和B4由材料的屈强比和表2中的系数决定；B1，B2，B3，B5和 B6取决于材料的屈服应变和表2中的系数. 利用该公式，可以计算与弹性应变对应的应变增量(获得标定曲线)，也可以通过已知应变增量求解相应的弹性应变(求解残余应力).

式(11)成立的条件是各种材料的应变测点位置必须一致，但是压痕制造时采用的压入力大小不尽相同. 事实上，由于该式包含了各自材料零应力状态下的应变增量Δε0，而该值与材料的力学性能和压入力大小同时有关.

3.3 基于某种材料 Δε0 确定的应力计算函数与力学性能的关系

基于上述分析，启示如果零应力试样获取困难，只能得知其拉伸性能，如果此时利用某一已知材料的零应力下的应变增量Δε0，是否也有可能直接确定新材料的应力计算函数. 假设已知1号材料的应力计算函数，在获得其它2号 ～ 12号材料的力学性能的情况下，12种材料应变增量比值Δε/与无量纲应变ε/εy的关系如图5所示. 经过数据处理，可用式(10)完全相同的形式来表示(相关系数R = 0.995)，式中系数 p1 ～ p12 见表 3. 需要指出的是，此时式中 z为 Δε/Δε01，Δε01为已知的 1 号材料零应力下的应变增量. 同样，可以得到和式(11)类似的应力计算函数，即

农户资信掌握难度大，不利于小额农贷的推广。在一些地方，政府对农行健康发展参与程度低，村级组织职能弱化，加上农村社会信用服务体系建设滞后，农户资信评估机构缺位，农民居住分散，交通不便，导致银行对农户资信的了解相当困难。信息不对称，信贷人员相对不足，制约了小额农贷的全面深入开展。

1.3.3 错误的土地权属观念影响。部分农民没有集体所有土地的概念，仍然认为宅基地是私有财产。自井田制诞生以来，土地私有延续千年，至今土地私有的思维惯性仍在。调研中，许多农户被问及宅基地来源时，其表述往往是“这块地不是政府批的，也不是村里面划的，是我祖上传下来的老宅”。在他们的思维中，宅基地是私有财产，装修只会增加房子的价值和自己的财富，所以乐意持续投入［3］。

图 5 以1号材料为基准获得的各种材料标定数据变化规律
Fig. 5 Calibration laws for different materials based on 1th material

式中：C0和C4取决于材料的屈强比和表3中的系数；而 C1，C2，C3，C5和 C6则取决于材料的屈服应变和表3中的系数. 和式(11)一样，公式(12)成立的条件除了各种材料的应变测点位置必须一致外，对于实际压痕制造采用的压入力大小也要求完全一样.

表 3 对应 1 号材料式 (10)中的系数
Table 3 Coefficients in formula (10) of the material

p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11 p121.103 1.208 -0.698 1.007 3.908 -8.640 -0.843 0.338 -0.220 21.727 -56.766 0.383

3.4 两种应力计算函数的误差对比

若已知新材料零应力下的应变增量和屈强比，可依据式(11)计算该材料不同弹性应变下的应变增量数值；若条件有限，只知新材料的屈强比和其它某一材料(如1号材料)零应力下的应变增量，则可依据式(12)进行该材料应变增量的计算.图6选取9号和11号两种屈服强度和屈强比相差较大材料，采用模拟标定和依据式(11)和式(12)计算得到的应变增量与弹性应变关系的对比结果.可以看出，采用公式直接计算得到的结果与模拟标定值非常接近. 比较而言，采用式(11)比式(12)误差更小.

图 6 2 种材料模拟和公式计算结果对比
Fig. 6 Comparison of simulation and formula calculationresults of 2 materials

对于其它不同类型的金属材料，如铝合金、钛合金等，式(11)和式(12)是否适用，精度如何，还有待进一步试验和分析研究.

4 结 论

(1)对于低合金钢类材料，以屈强比和屈服应变为材料特征变量，可以获得压痕应变增量与弹性应变之间新的应力计算函数，实现无需通过复杂的试验标定或专业的模拟计算确定应力计算函数的方法.

(2)在获得零应力下的应变增量和材料拉伸性能条件下，可依据新的应力计算函数式(11)，计算出对应应变增量的弹性应变来求解残余应力，或在给定的应力计算函数式(12)，同样可以计算出对应应变增量的弹性应变来求解残余应力，或在给定弹性应变情况下，获得传统的标定曲线.

(3)在仅仅已知材料拉伸性能的条件下，可依据新的应力计算函数式(12)，同样可以计算出对应应变增量的弹性应变来求解残余应力，或在给定弹性应变情况下，获得传统的标定曲线.

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