引言开展钢筋混凝土构件或钢-混凝土组合构件在压弯荷载作用下的受力分析（即我国规范里的“正截面分析”），离不开混凝土的单轴应力-应变关系。这些构件里的混凝土一般都受到箍筋、钢管或其他部件的约束，因此正截面分析采用的混凝土单轴应力-应变关系必须包含约束作用对轴向应力-应变关系的影响，也就是说，正截面分析采用的混凝土单轴应力-应变关系实际上是三轴应力状态下的混凝土轴向应力-应变关系。建立约束混凝土轴向应力-应变关系的一般流程是这样的：（1）建立峰值点应力fcc和峰值点应变εcc的计算公式。这些公式通常把fcc/fc0和εcc/εc0表示成fle/fc0的函数，其中fc0和εc0分别是无约束混凝土的峰值应力和峰值应变，fle是有效约束应力。实际构件中的约束应力分布往往是不均匀的，比如矩形截面的钢筋混凝土柱和钢管混凝土柱，如下图所示；即使是圆形截面的柱子，在压弯荷载作用下，约束应力的分布也是不均匀的；因此，截面不同位置处的轴向应力-应变关系是不一样的。但为了分析方便，我们通常用有效约束应力fle来代表非均匀约束的平均约束效果，非均匀分布的轴向应力也用平均轴向应力来等效，由此得到的平均轴向应力-应变关系通常被称为等效单轴应力-应变关系。（2）定义应力-应变曲线的上升段和下降段函数。主动约束和采用钢部件（如钢筋、钢管）约束的混凝土的轴向应力-应变曲线一般都存在下降段，FRP约束混凝土的轴向应力-应变曲线一般会呈现应变硬化的特征。本文讨论的对象主要是前者，关于后者的研究，推荐大家阅读杨家琦和冯鹏老师的文章。混凝土研究历史上出现过不少描述混凝土轴向应力-应变关系的函数（本构函数），过镇海老师的《钢筋混凝土原理》和Change与Mander（1994）的研究报告里都有比较系统的总结。但大浪淘沙，现在我们常见的本构函数主要就剩下Popovics（1973），Tsai（1988）和Sargin（1971）提出的这3个。在考察这三个函数之前，我们先来看下约束混凝土轴向应力-应变（σc--εc）曲线的一些基本特征：（1）应变为0时的切线斜率为混凝土初始弹性模量Ec；（2）应力-应变曲线上升段的切线斜率Et随着应变的增大而降低，峰值点处的切斜斜率为0；（3）下降段一般存在一个残余强度，或者说，在加载后期，随着应变的增加，混凝土应力下降不明显。为使函数形式看起来简单，在下面的函数表达中，我们统一令0MPa为例，对应的εc0和Ec值可分别取为0.002和30GPa，由此算得的r值为2；随着混凝土强度的提高，Ec和Esec都会增大，但Esec的增长速度比Ec快，因此r值会相应增大。对于约束混凝土，εcc/εc0的值通常比fcc/fc0的值大不少，也就是说，相比无约束混凝土，约束混凝土的Esec值会减小，相应的r 值也会减小，但r 值肯定不会降到1以下。总结一下，r值会随着混凝土强度的提高而增大，随着约束程度的提高而减小。接下来，我们看下r 值对应力-应变曲线形状的影响（图3）。可以看到，r值会同时影响上升段和下降段。随着r 值的增大，下降段曲线会更陡，也就是混凝土的延性会更差，这和前面讲的r 值随混凝土强度和约束程度的变化在趋势上是一致的。段的切线斜率Et逐步减小，在峰值点处降为0，满足前面所讲的混凝土轴向应力-应变曲线的第2个特征。另外，我们可以看到，r 值会影响Et减小的方式（是刚开始减小的快，还是接近峰值时减小的快）。 很多人把Popovics函数称作Mander函数，这主要是Mander（1988）的论文太出名了。实际上，Mander在论文里明确指出了这个函数形式是由Popovics（1973）提出的。Mander在1988年的论文里用这个函数来描述约束混凝土的全过程应力-应变曲线，但在1994年的报告里，他承认这样做不能得到跟实验吻合的下降段曲线。原因是比较明显的，因为r值完全是由上升段确定的，相当于上升段一确定，下降段也就定了，实际情况肯定要比这个复杂，更何况存在各种不同的约束情况。 Tsai函数
式中，n和p是两个待定参数。令n=p/(p-1)，上式就退化成了Popovics函数。Tsai函数的一阶导为同样地，令应变为0时的切线模量等于混凝土初始弹性模量Ec，可得到基于前面的分析，可以知道n 值随着混凝土强度的提高而减小，随着约束程度的提高而增大。下面我们看下n 和p 的值对应力-应变曲线形状的影响（图5）。可以看到，n 和p 都会影响上升段和下降段。随着n 值的减小，下降段曲线会更陡，也就是混凝土的延性会更差，这和n 值随混凝土强度和约束程度的变化在趋势上是一致的。随着p 值的增大，下降段曲线会更陡，且p 对下降段的影响较n 明显。所以，可以用p 值来调节下降段，使公式得到的曲线与实验曲线尽可能吻合。这也是Change与Mander（1994）推崇Tsai函数的原因。但在考察过程中，我们也发现了这个函数的问题。下图是p 值对上升段切线斜率Et变化的影响。可以看到，当n 和p 都比较小（比如方钢管高强混凝土柱里的混凝土）时，上升段的切线斜率Et在加载前期会超过初始弹性模量Ec，这违背了前面讲的混凝土轴向应力-应变曲线的第2个特征。所以，采用包含两个参数的Tsai函数来描述约束混凝土的全过程应力-应变曲线也不是所有情况下都可行的。
式中，A和D是2个待定参数。如果取A=2，D=0，上式就退化成抛物线，也就是我国《混凝土结构设计规范》所采用的上升段函数（针对C50以下混凝土）。Sargin函数也被Sakino等人用来描述钢管混凝土里的混凝土全过程轴向应力-应变关系。同样地，令应变为0时的切线模量等于混凝土初始弹性模量Ec，可得到当x趋向于无穷大时，y趋向于(D-1)/D，这比较符合前面讲的混凝土轴向应力-应变曲线的第3个特征，即下降段存在残余强度。下面我们看下A和D的值对应力-应变曲线形状的影响（图7）。可以看到，虽然A值是由上升段确定的，但它也会影响下降段；同样地，D值对上升段也有一定影响。当A值比较小时，Sargin函数存在与Tsai函数同样的问题，如下图所示。小结和建议（1）Popovics、Tsai和Sargin函数都可用来描述混凝土轴向应力-应变曲线上升段和下降段的基本走势。（2）采用带2个参数的Tsai或Sargin函数描述约束混凝土的全过程应力-应变曲线的理想很美好，但现实并非那么理想。（3）2010规范中混凝土本构关系曲线文档下载增加待定参数数量肯定能得到与实验更吻合的曲线。因此，可以采用同一个函数形式来描述上升段和下降段，但采用两套不同的参数值。以Sargin函数为例，上升段的2个参数值可以用初始弹性模量和某一应力水平下的割线模量确定；下降段的两个参数值可以根据残余强度和某一应变水平下的应力值确定。
|
