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两天前布置了一道改编题，收获了孩子们许多的精彩解法！一起来欣赏下！ 如图：已知正方形ABCD和等边三角形EFG,其中顶点E、F、G分别位于边AD、AB、CD上，且满足：AE=2DE，求∠EGD的正切值。 解法一：勾股（林盛、戴蓓蓓等同学） 设元，利用勾股硬算。（设二元，利用等边，由勾股得两等式，求未知数） 过程优化整理如下： 解法二：造相似（林晋、姚志武等同学） 利用比例造X型相似，得已知两边关系和一特殊角的斜三角形，解斜三角形即可 简析：如左图，延长FE交CD延长线于M,得相似，导边得EG=2EM，得到△EMG为已知两边+一个特殊角(120°)的斜三角形，如右图，作高可解斜三角形，即可求得∠EGM的正切值。具体数据如图所示！ 解法三：一线三等角全等（林觉凯同学） 特殊角60度，可造一线三等角！如下图。 整理如下： 解法四：一线三垂直（K字型）（杨辰东同学） 等边三角形三线合一，易证PN中位线、△PMF∽△CPN，倒出线段比，tan∠EGD=tan∠FPM=√3/5. 引导发散：试试是否可以在另外两条边上构造三垂直？ 如下图 解法五：旋转，四点共圆导角，比例转化（胡逸晨、董若羽、林东等同学） 如上图，将△DEG绕点E顺时针旋转60°的△MEF，连AM，易证E、A、F、M四点共圆，∠DGE=∠MFE=∠MAN,过M作MN⊥AD于N，设DN=1，则EN=1,AE=4，MN=√3。。。。 解法六：造全等再作K字型（李笔候同学） 作在△EFG外部作∠GFP=∠EGD，过G作GP⊥FP于点P,过P作MN∥AD...易求∠PGN=30°，设PN=1,.....(其他值如图),易证：△FMP∽△PGN,tan∠EGD=tan∠GFP=GP:FP=GN:PM=√3:5. 解法七：四点共圆导角（林展墨同学）
取BC中点M，连MN、MD，易证M、N、D、G和M、N、A、F四点共圆，证明△NFG为等边三角形，tan∠NGD=tan∠NMD，过NZ作NK⊥DM于K，设DK=1，。。。。。 解法八：托勒密
M、N、D、G四点共圆，√3a·DG+a=3·2a,DG=5√3/3，。。。 解法九：等边倍长造306090的直角三角形 如图所示：
换个方向也行：
为孩子们带来的精彩解题喝彩！为爱动脑的孩子们鼓掌！题目因有你们的思维而充满活力！即使老师能有很多解法而学生都不会接受也只能是竹篮打水！加油吧，少年！ 来源：姚之初中数学教与学心得；如存图片/音视频/作者/来源等使用或标注有误，请随时联系微信ABC-shuxue处理。 |
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