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如今期中考试逐渐临近，同学们也是在紧张的复习中，作为整个初中阶段难度最大的初二数学，同学也是非常的苦恼，面对三角形，全等三角形等知识点，感觉基本的概念和定理都已经理解了，但是在做题的时候，就是没有思路，证明题不会用，求解题也是思路比较混乱，尤其是几何图形比较复杂的题目。几何部分的学习除了加强练习之外，还要学会解题的方法，逆向推导，已知条件的正向推导，两者的结合等等，同时还要注意数学思想的培养，在等腰三角形这部分内容中，分类讨论思想用的非常的多，也是同学们在整个数学学习过程中必须会运用的一种数学思想。 作为期中考试的重点，等腰三角形的性质同学们一定要掌握，并且能够灵活运用，尤其是“三线合一”的运用，同时注意分类讨论思想的运用，我们首先学习分类讨论在等腰三角形中的运用。常见的讨论方向有如下几种。 一、腰和底（顶角和底角）的讨论 例1：（1）已知一个角为另一个角的2倍，则等腰三角形的三个内角分别为。（2）已知两个角之差为30°，则等腰三角形的三个内角分别为。 【解析】：这两个题目中，只是说明的角的倍数或者大小关系，并没有写明谁是顶角谁是底角，因此必须分类讨论才能保证解的全面性。第（1）题：（1）、设底角为x，顶角为2x，则x x 2x=180°，解得：x=45°。即底角为45°，顶角为90°。（2）：设顶角为x，底角为2x， 则2x 2x x=180°，解得x=36°，即底角为72°，顶角为36°。第（2）题：（1）设底角为x，顶角为x 30。则x x x 30=180°，解得：x=50°，即底角为50°，顶角为80°。（2）设顶角为x，底角为x 30，则x 30 x 30 x=180°，解得x=40°。即底角为70°，顶角为40°。 例2：（1）等腰三角形两边的长度分别为5和6，求周长。（2）等腰三角形两边的长度分别为4和9，求其周长。 【解析】：注意观察这两个题目的不同，等腰三角形需要分类讨论，但并不是所有的情况都满足，要注意关于边的讨论时，首先要满足三角形的三边关系。第一题：（1）当腰为5，底边长为6，则另一个腰长为5，6－5＜5＜6 5，符合三角形三边条件。周长为：5 5 6=16。（2）当腰为6，底边长为5，则另一个腰长为6，6－5＜6＜6 5，符合三角形三边条件，周长为：5 6 6=17。综上所述等腰三角形的周长为16或17。第二题：当腰为4，底边长为9，则另一个腰长为4，9－4＜4＜9 4，不等式不成立，因此不能构成三角形。当腰为9，底边长为4，则另一个腰长为9，9－4＜9＜9 4，符合三角形三边条件，周长为：9 4 9=22。综上所述周长为22。 这类题目的解题规律：已知等腰三角形的两条边a，b，求另一条边c时，要分2种情况讨论：①设a为腰，b为底，则c=a；②设a为底，b为腰，则c=b。注意分类讨论后，还需利用三角形边的关系判定每种假设是否成立。已知等腰三角形的一个角A，求另外两个角B和C，要分2种情况讨论：①设∠A为底角，则∠B=∠A，∠C=180°－2∠A；②设∠A为顶角，则∠B=∠C=1/2（180-∠A）。 二、锐角三角形、钝角三角形的讨论 例1.已知△ABC中，CA=CB，AD⊥BC于点D，∠CAD=50°，求∠B的度数。 【解析】：这类题目经常不会给出图示，因此要求同学们自己根据题目的已知条件画出图形，这时就需要分类讨论了，根据题目结合等腰三角形的特点画出不同的三角形，常见的是锐角和钝角的讨论。当∠ACB为锐角，如下图所示 ∵∠CAD=50°，AD⊥BC， ∴∠ACD=40°， ∵AC=BC ∴∠CAB=∠B=1/2（180-40）=70. 当∠ACB为钝角，如下图所示 ∵∠CAD=50°，AD⊥BC， ∴∠ACD=40°， ∴∠ACB=140°， ∵AC=BC， ∴∠CAB=∠B=1/2（180-140）=20.综上所述：∠B=70°或∠B=20°。 例2.已知△ABC的高AD，BE所在的直线交于点F，若BF=AC，求∠ABC的度数。 【解析】：当∠ABC为锐角，如下图所示 ∵AD，BE是△ABC的高，∴∠BDF=∠AEF=90°∵∠BFD=∠AFE，∴∠DBF=∠FAE 在△BDF与△ADC中 ，∠DBF=∠DAC,∠BDF=∠ADC,BF=AC, ∴△BDF≌△ADC, ∴BD=AD, ∴△ABD为等腰直角三角形, ∴∠ABC=45°. 当∠ABC为钝角，如下图所示 ∵AD，BE是△ABC的高， ∴∠ADB=∠BEC=90°， ∴∠C=∠EBC=90°=∠C ∠DAC， ∴∠DAC=∠EBC=∠DBF，在△BFD与△ACD中，∠DBF=∠DAC,∠BDF=∠ADC,BF=AC,∴△BFD≌△ACD，∴DB=AD，∴△ADB为等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，∴∠ABC=135°。 综上所述：∠ABC=45°或∠ABC=135°。 这类题目一般的解题方法：当题干中未告知图形，我们往往将三角形分为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论。因为锐角三角形（高在三角形内部）和钝角三角形（高在三角形外部）的高位置不同，会导致图形不同，最终导致不同结果。 三、等腰三角形个数的讨论 例1.平面直角坐标系中，已知A（2,2），B（4,0），若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，求满足条件的点C的个数。 【解析】：当点C在AB的垂直平分线上，如下图所示 线段AB垂直平分线与坐标轴的交点有2个，则在这种情况下，存在2个C 当点C在一点A为顶点的等腰直角三角形上，如下图所示 以点A为圆心，AB长为半径作圆，与坐标轴的交点有2个。但是与y轴的交点（0,4）与A、B两点在同一条直线上，则三点不能构成三角形。所以，这种情况下只有1个点符合条件。 当点C在以点B为顶点的等腰三角形上，如下图所示 以点B为圆心，AB长为半径作圆，与坐标轴的交点有2个，则这种情况下，C点有2个。 综上得：共有5个点满足条件 这类题目的一般解题方法：此类题型往往已知2个点（A和B）或者1条边，求另一个点，使之能构成等腰三角形。分2类讨论：（1）已知直线为底，另一个点在这条直线的垂直平分线上（AB左右两侧皆可），即以点C为顶点；（2）已知直线为腰，以点A为顶点，AB长度作弧，另一点在圆弧上；或以点B为顶点，BA长度作弧，另一点在圆弧上（AB左右两侧皆可）。 |
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