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今天算是正式结束了上课的日子，突然就感觉无聊了。 翻了翻自己的学习笔记，便又整理了下这个题。 确实，二元代数式的最值，也算是常考题型了，觉得还是有必要再熟悉下的。 01 直线型条件  题目特征 这种给出ax+by+c=0型条件等式，消元应该是挺方便的。但如果观察目标的结构，觉得又与圆或两点间距离或多或少有一点关系。 便有了下面的解法。  思路分析 多元问题一元化处理，是解决这类问题最根本的思路了。而条件中的二元一次方程，就可以很方便地让我们达到消元的目的。 思路分析 解决二元代数式的最值问题，有一种解法常被叫作叫“万能K法”。其实，这种方法基本思想还是消元了，只不过利用了整体替换的思想，但把代数式变为等式以后，问题就变成了方程组有解的问题。 记得高一讲分式型函数值域时，这种解法一般叫“判别式法”。 当然，如果变量x，y给出了一定的范围，可能还是需要验证下的。 思路分析 如果从目标的“平方和”特征看，我们其实就是想由条件求出一个圆的半径大小，当然最好的方式 ，就是考虑圆的参数方程了。 所以说，“看到平方和，要想三角换元“，应该是比较明智的。 思路分析 当然，平方和的问题也可以看成两点间的距离。 其实，在代数中能够表示距离的式子是不多的，记得最常见的当是平方和和绝对值了。
 思路分析 相信不少同学都记得'遇到连比就设k”这句口头禅吧？ 涉及比值问题，通过设k的作法，其实也只是消元的一种形式，我们姑且叫作换元消元，就记得均值代换就是一种最常见的换元消元了。 当然，换成k还是t，这是无伤大雅的。 02 椭圆型条件
思路分析 条件式为二元二次方程，因为平方项系数均为正，其图象为椭圆，这种形式的条件称为椭圆型。显然该形式下直接消元是不现实的。
思路分析 因为目标式为一次式，所以考虑一次式便 于消元的特征，就可以考虑用判别式法了。
思路分析 一般而言，但凡是二次项系数同号的二元二次式，总是可以通过一定的手段进行三角换元的。这里就利用了配方后的平方和特征进行了三角换元，应该也是一种常规换元了。
思路分析 其实，如果认真观察条件和结论的关系，还是能找到它们之间的联系的，就象这个解法一样了。只是如果条件中的平方项部分不能变成目标式的话，基本不等式也就无能为力了。 所以，还是前面的基本方法更靠谱点。
思路分析 此题的条件式还算是比较理想的，但因目标式为分式，且为真分式，采用三角换元法处理，计算量显然过大了。因此，如何沟通条件和结论，是本题得以突破的关键。
思路分析 本题通过分式裂项的逆向变换，将最简分式化为假分式，并通过配凑构造基本不等式的条件，从而得到条件式的作法，很是巧妙。但要注意的是，因x、y满足的等式有三个，很可能会发生冲突，因此这种解法虽妙，但不具备一般性哦。 但实在走投无路时，这种变形的技巧，不妙可以考虑试一试的。
思路分析 本题形式和例3相同，当然首先考虑了例3的解法，但预言成真，真的发生矛盾了。因此又考虑了下另外一种构造构造。
思路分析 其实，说到基本不等式的使用，也确实是挺让人费神的，单是构造取等的条件，就是一个技术活，何况还是兼顾几个条件呢。所以，这种解法供借鉴吧，实在没有办法了，就考虑下。 03 双曲型条件
思路分析 本题条件式通过化简后，为双曲函数，其图像为双曲线，但也是一种常见形式了。通过不同的理解，而得到的不同处理方式，在代数变形中也是具有很强的可借鉴性的。
思路分析 因为条件式中变量x,y均以一次的形式出现，是可以很方便的利用代入法进行消元的。所以，消元法便成为了首选。
思路分析 还是整体替换，依然是判别式法，这种化代数式为方程的思路，在很多时候，确实都是简洁易行的。所以我说，如果实在是没有好的代数变形的手段了，那就万能k法吧。 毕竟，方程总归是要好处理点。
思路分析 这里的基本不等式，其实是不具备一般性的。此题还是因为条件等式的左边和目标式完全相同，才能进行下去的，巧合的因素就多了些。所以，不借鉴也罢了。
思路分析 是不是有点线性规划的感觉了呢？确实，线性规划这个东西，很多时候稍不留心就变成了一般的数形结合了。 所以关于二元代数式的最值问题，常见的就是三种思路：消元、线性规划和基本不等式。
思路分析 这个等积代换，和前面的等比代换差不多。其实说白了，这两种变换，就是我们最熟悉的正比例函数和反比例函数的延续了。但确实也是我们处理二元代数式最常用的一种手段了。毕竟，站在消元的角度，还是挺方便的。
思路分析 此题条件式中平方项系数正负相反，一般来说它的图像应该是双曲线了。因为条件式不能配成平方和的形式，所以这种式子的处理确实是难了点。
思路分析 如果条件式无从下手，目标式当然就是我们要首先瞄准的。 目标代数式既然是平方和特征，当然就可以考虑三角换元了。所以，关于三角换元这种方法，好象确实是无处不在，我们是要引起足够重视的。
思路分析 但这种条件式有一种常见的处理方式 ，就是部分分解因式。如果这种双曲条件式可以按照上面的方式因式分解的话，作等积变换也确实还是比较方便的。 来源：素人素言（ID：Pengxidong666），作者：彭西东；如存在文章/图片/音视频使用不当的情况，或来源标注有异议，请联系微信：ABC-shuxue处理。 |
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