接合齿齿部倒锥角测量方法及误差分析

接合齿齿轮是汽车变速器中的一种特殊齿轮，其齿部带有防脱挡倒锥角，作用是通过与接合齿套的联接来实现汽车在行驶中的平稳换挡，属于变速器关键零部件。但在现有的国内外技术标准中都没有对接合齿齿部倒锥角的明确定义，各厂家只有企业标准，所以各制造厂商和汽车整车厂商在理解倒锥角时也产生了偏差。另外，双方可能采用不同的测量仪器测量倒锥角，也造成测量方法和测量结果不太一致，需要多次对比验证，双方才能认可测量结果。基于此，本文试图定义接合齿倒锥角，并讨论不同测量方法带来的测量误差。

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1. 接合齿齿部倒锥角定义

接合齿齿部倒锥角定义为：两侧齿面与分度圆柱面的交线，分别与该齿的齿形中心平面之间的夹角，符号为β，如图1所示。

2. 接合齿倒锥角测量方法及误差分析

以前一般用万能工具显微镜测量接合齿倒锥角。先把齿部车削到分度圆处，然后在工具显微镜下用幻灯投影，测量人员用肉眼直接读出倒锥角数值。这是一种零件破坏型测量方法，由于模数较小、齿厚较薄，车削切削力易引起齿面变形，同时也或多或少存在毛刺，造成较大的测量误差，所以这种测量方法精度不高，逐渐被淘汰。

目前各厂商一般用三坐标测量机或齿轮测量中心测量接合齿的齿部精度，在测量仪器内部根据接合齿齿形参数建立相应的测量3D模型或数学模型。

高端的三坐标测量机内部系统软件有3D模型功能，能建立复杂几何体的空间模型，测量几何体的参数。但普通三坐标测量机软件只有简单的3D模型功能，对一些复杂几何体参数只能用手工打点的方法测量。

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现有大多数的齿轮测量中心是测量齿轮精度的专用仪器，内部开发的系统软件只针对专业的齿轮（如直齿或斜齿圆柱齿轮、直齿或螺旋圆锥齿轮等），建立了几种特定的齿轮数学模型。

图1 定义接合齿倒锥角的三维图

在高端三坐标测量机上测量倒锥角时，测量人员先建立相应的齿部3D模型，测针在理论模拟的分度圆弦向平面上进针形成弦向轨迹，测量该平面内的角度偏差值，直接得出倒锥角的数值。该方法较复杂，对操作人员素质要求较高。而在普通三坐标测量机上测量接合齿倒锥角时，只能用手工在齿面上打点的方法，操作较简单但测量误差相对较大。具体测针轨迹如图2中的蓝线所示。

在工厂实践中，有的厂商用齿轮测量中心测量倒锥角。由于仪器内部系统软件无法涵盖接合齿齿部参数的数学模型。当测量接合齿倒锥角时，因为倒锥角与斜齿圆柱齿轮的螺旋角很相似，所以系统就按照类似斜齿齿轮测量，在模拟的分度圆法向平面上进针形成法向轨迹，测量出法平面内的螺旋角偏差值，直接得出一螺旋角的数值。具体测针轨迹如图2中的红线所示。这样得出的法向夹角数值与上面的弦向夹角数值就有一定的误差。

下面分析两种仪器测量倒锥角时分别形成的弦向和法向测针轨迹之间的几何关系。

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过齿面的一点a（齿面与分度圆的交点），作齿部的P面（弦向平面）、Q面（法向平面），分别与齿面相交得到蓝线和红线，蓝线为弦向平面内的测针轨迹，红线为法向平面内的测针轨迹。

同时，通过该点a作平行于接合齿轴线的直线L，颜色为蓝色线，分别与红线端点、蓝线端点连接得到线段L1、L2，于是形成弦向平面内的∠A和法向平面内的∠B，两平面之间的夹角为∠C，如图3、图4所示。

从弦向和法向平面内测针的几何轨迹来看，法向夹角与弦向夹角之间存在一定的数学关系。具体分析如下。

在分度圆弦向平面P上，具体的测量轨迹是从齿面上一点a（齿面与分度圆的交点）进针，走直线ab（齿面与弦向平面的交线）轨迹，系统直接投影得出直线bk（垂直于齿形中心面）数值。

在分度圆法向平面Q上，具体的测量轨迹是从齿面上a点进针，走直线aw（齿面与法向平面的交线）轨迹，系统直接投影得出直线wk（垂直于齿面渐开线）数值。

图2 弦向和法向平面的测针轨迹

图3 弦向和法向平面内夹角

图4 在弦向和法向平面内测量倒锥角的几何关系

其中，平面P：分度圆弦向平面；平面S：轮齿齿形中心面；平面Q：分度圆法向平面；交线ab：分度圆柱面与齿面的交线；交线cd：齿形中心面S与平面P的交线；交线ak：平面P与平面Q的交线，与接合齿轴线平行；角度A：在分度圆弦向平面P上，直线ab与ak之间的夹角；角度B：在分度圆法向平面Q上，直线aw与ak之间的夹角；角度C：在垂直接合齿轴线的平面上，分度圆法向平面与弦向平面之间的夹角，此角非常接近该接合齿的压力角α。

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在弦向平面P，R t△ab k中，tanA＝bk/ak；在法向平面Q，Rt△awk中，tanB＝wk/ak；在垂直于接合齿轴线的平面，Rt△bwk中，cosC＝wk/bk。则有tanA＝bk/ak＝tanB/（wk/b k）＝t a nB/c o sC，则∠A＝arctan（tanB/cosC）＝arctan[wk/（akcosC）]。即用三坐标测量机检测的弦向夹角数值∠A（理论上的倒锥角）与用齿轮测量中心检测的法向夹角数值∠B之间的计算差异为cosC因子。∠C的值近似为压力角α。

3. 在工程图中接合齿齿部倒锥角的标注

（1）在弦向平面内测量倒锥角时的标注方法（理论标注）。根据倒锥角理论上的定义，设计人员在工程图中应在接合齿分度圆弦向平面的剖面内标注倒锥角，如图5所示。或采用简化标注示意图，如图6所示。

（2）在法向平面内测量倒锥角时的标注方法（法向标注）。设计人员在设计接合齿时，如果考虑到用齿轮测量中心在分度圆渐开线法向平面内测量倒锥角，可在工程图中，在齿面分度圆处，作渐开线法向旋转剖视图。或简化为在倒锥角标注处直接加注“法向”（见图7）。

图5 在分度圆弦向平面内标注倒锥角（理论标注）示意

图6 工程图中标注倒锥角（理论标注）简化标注示意

（3）在某一具体直径处测量时的标注方法。在实际测量中，由于有的接合齿齿部的齿数较多，模数较小，齿根圆与分度圆较接近，三坐标测量仪中测头有一定的直径大小，在分度圆弦平面内进针，测头与齿根处可能有干涉，从而影响测量结果。设计人员在设计接合齿时，考虑到变位系数，有可能分度圆与齿顶圆较接近，在齿顶处也不易测量。

在这两种情况下，一般取齿中部圆处（齿顶与齿根之间半分位处）测量。零件制造厂商也可与设计厂商沟通，商讨在某一具体直径处测量倒锥角。

4. 结语

图7 在法向平面内测量倒锥角简化标注示意

本文论述了接合齿倒锥角的理论定义，并对分别在分度圆弦向和法向平面内测量倒锥角的几何关系进行了详细的推导。然后根据企业对倒锥角的实际测量方法，提出在工程图中如何标注倒锥角的建议。这样，各制造厂商和汽车整车厂商在理解和检测倒锥角时，能进行有效的沟通，采用同样的测量方法或采用数学关系换算方法，取得双方一致的测量评价结果。

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参考文献：

[1] 中国机械工程学会，中国机械设计大典编委会.中国机械设计大典（第4卷）机械传动设计［M］.南昌：江西科学技术出版社，2002.