经典波动光学：按照惠更斯-菲涅尔原理的基尔霍夫衍射

作者：姬扬

惠更斯提出了波传播的一般性原理，即惠更斯原理：波面（波前）上的任意点都可以看作新的振动中心，它们发出球面次波，这些次波的包络面就是新的波面（波面）。利用这个原理，可以解释光的传播、反射和折射现象。

菲涅尔在惠更斯次波概念的基础上，引入了次波相干叠加的思想，这就是惠更斯-菲涅尔原理：波面（波前）上的任意点都可以看作新的振动中心，它们发出球面次波，空间任意点P的振动是该波面上所有这些次波在该点的相干叠加。这个原理可以很好的解释光的衍射现象。特别有趣的、令人印象深刻的是，当初的反对者泊松提出反直觉的结论——岂不“光在圆盘后面有个亮斑？”，然而实验竟证实了“泊松亮斑”果真存在。

在波前上的任意点处，有两个特殊的方向：一个是该点的发现方向，一个是该点和“空间任意点P”的连线方向。这两个方向就决定了一个角度θ，为次波相干干涉引入了“倾斜因子”f(θ)，菲涅尔猜测了这个倾斜因子的形式。

基尔霍夫从波动方程出发，推导出一个衍射积分公式，并给出了倾斜因子的具体形式。基尔霍夫衍射积分公式是：

U(P)=∫ΣAe^ikr′/r′_⋅e^ikr/r_⋅–i/λ_⋅[cos(n^,r′)_⋅cos(n^,r)]/2dΣ

公式中被积的第一个函数代表光源发出的球面波，第二个是球面波前上任意点发出的球面次波，[cos(n^,r′)-cos(n^,r)]/2是倾斜因子。这些都能理解，但比例系数   -i/λ很奇妙，单靠直觉是想不出来的。这个方程的推导不适合在大学普通物理课里讲，但我们可以用这个公式来推导球面波的传播，从而验证这个比例系数-i/λ的正确性。

我们知道，半径为R的球面波 e^(ikR)/R 经过一段时间 t=d/c后，会变成半径为R+d的球面波e^[ik(R+d)]/(R+d)，我们就是要从基尔霍夫积分公式得到这个结果。

 

如图所示，O是球心（光源位置），O、Q和P点位于球的半径上，在Q点附近且与半径垂直的平面上，

到P点的距离以及到O点的距离可用微分方法近似，所以，基尔霍夫积分公式里的r变化并不大，但e^ikr是高速振荡的。也就是说，只有在Q点附近的球面波前才对P点的振幅有贡献。这意味着光源发出的球面波总是从小圆到大圆、再到更大的圆，以至于无穷（相当于平面波），源源不绝了。这样，我们还可以知道基尔霍夫公式中-i/λ的来源。

如果你拿一个纯粹的黑体材料（能吸收所有的光），球形波前整个罩住，然后剪出一个（或者更多的）洞让一部分光通过（即衍射屏），你就可以计算外面某点辐出的衍射光强了：挡住的部分，光振幅为零；没挡住的部分，光振幅不变；边界处的贡献忽略不计。（注意，这个说法等效于《光学》书上的基尔霍夫边界条件。）

这里需要注意几点：

洞的尺寸应该远大于波长，只有这样才可忽略边缘处的贡献。波长太长（比如无线电波）或者洞太小，就必须考虑采用更为严格的电磁理论，并考虑到衍射屏材料不可能是真正的黑体（比如在金属掩膜里，可能产生等离激发）。另外，基尔霍夫边界条件本身也不是完全自洽的。不过，这些都是枝节问题了。

从惠更斯-菲涅尔原理到基尔霍夫衍射积分公式，可以看出光的衍射是典型的线性叠加效应：如果光的波前是两部分A和B之和，衍射的效果（P点的衍射振幅）就是二者分别作用的结果之和——即所谓的“巴比涅原理”。这一点显然可以拓展到任意多个部分之和，其实就是傅里叶光学的基础之一。但是，因为我们通常观测的光学结果并不是光场的振幅，而是光的强度，也就是光场振幅的绝对值平方，所以多个部分的衍射结果通常不等于各个部分的结果之和。

但是对于一种特殊的情况，巴比涅原理特别有用：点光源经过一个几何光学系统后，在像平面形成一个点像。因为像平面其他部分的光场振幅一定是零（几何光学近似），所以，如果在光学系统中插入一个衍射屏A得到的衍射图样，与插入其互补屏B得到的结果是完全相同的（除了光源的几何成像点以外）。

道之理，理之道。西方科学文明常以奇技淫巧著称，竟与我东方神秘文化是相同的境界：太极圆转如意，阴阳相生相克。天道至简、殊途同归。

（文中的公式及其解释以姬老师的原文为准）