若要f(x)+9大于等于0恒成立,即(1/2)x4-2x3+3m+9>=0恒成立;移项可得: 1.4课 题:导数在实际生活中的应用 教学目的: 1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法; ⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题 教学重点:解有关函数最大值、最小值的实际问题. 教学难点:解有关函数最大值、最小值的实际问题. 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1. 极大值: 一般地,设函数f(x)在点x 0附近有定义,如果对x 0附近的所有的点,都有f(x)<f(x0) ,就说f(x0) 是函数f(x)的一个极大值,记作y 极大值=f(x0) ,x 0是极大值点 2. 极小值:一般地,设函数f(x)在x 0附近有定义,如果对x 0附近的所有的点,都有f(x)>f(x0). 就说f(x0) 是函数f(x)的一个极小值,记作y 极小值=f(x0) ,x 0是极小值点 3. 极大值与极小值统称为极值 4. 判别f (x 0) 是极大、极小值的方法: 若x 0满足f '(x 0) =0,且在x 0的两侧f (x ) 的导数异号,则x 0是f (x ) 的极值点,,则x 0是f (x ) 的极大值点,f (x 0) 是极值,并且如果f '(x ) 在x 0两侧满足“左正右负” 如果f '(x ) 在x 0两侧满足“左负右正”,则x 0是f (x ) 的极小值点,f (x 0) f (x 0) 是极大值; 是极小值 5. 求可导函数f (x ) 的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根 (3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格. 检查f ′(x ) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f (x ) 在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f (x ) 在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,那么f (x ) 在这个根处无极值 6. 函数的最大值和最小值:在闭区间[a , b ]上连续的函数f (x ) 在[a , b ]上必有最大值与最小值.⑴在开区间(a , b ) 内连续的函数f (x ) 不一定有最大值与最小值. ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.⑶函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续,是f (x ) 在闭区间[a , b ]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个 7. 利用导数求函数的最值步骤:⑴求f (x ) 在(a , b ) 内的极值;⑵将f (x ) 的各极值与f (a ) 、 f (b ) 比较得出函数f (x ) 在[a , b ]上的最值 二、讲解范例: 例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图) ,做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积是多少? 解法一:设箱底边长为 x cm ,则箱高 _60 h = 60-x cm ,得箱子2 容积 60x 2-x 3 V (x ) =x h = (0 2 2 3x 2 V '(x ) =60x - (0 2 3x 2 令 V '(x ) =60x -=0,解得 x=0(舍去),x=40, 2 并求得 V(40)=16 000 由题意可知,当x 过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子容积很小,因此,16 000是最大值 答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16 000cm 解法二:设箱高为x cm ,则箱底长为(60-2x )cm ,则得箱子容积 (后面同解法V (x ) =(60-2x ) 2x (0 由题意可知,当x 过小或过大时箱子容积很小,所以最大值出现在极值点处. 3 60x 2-x 32 事实上,可导函数V (x ) =x h =、V (x ) =(60-2x ) x 在各自的定义域中 2 2 都只有一个极值点,从图象角度理解即只有一个波峰,是单峰的,因而这个极值点就是最值点,不必考虑端点的函数值 例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的材料最省? 解:设圆柱的高为h ,底半径为R ,则表面积 2 S=2πRh+2πR V ,则 πR 2V 22V 2 S(R)= 2πR + 2πR =+2πR 2 πR R 2V 令 s '(R ) =-2+4πR=0 R 由V=πR h ,得h = 2 解得, V h=2 π R 即 h=2R 因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值 答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省 变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用材料最省? S -2πR 2 提示:S =2πRh +2πR ⇒h = 2πR 2 11S -2πR 2 πR 2=(S -2πR 2) R =SR -πR 3 ⇒V (R )= 222πR V ' (R ) )=0⇒S =6πR 2 ⇒6πR 2=2πRh +2πR 2⇒h =2R . 例3在经济学中,生产x 单位产品的成本称为成本函数同,记为C(x),出售x 单位产品的收益称为收益函数,记为R(x),R(x)-C(x)称为利润函数,记为P(x)。 (1)、如果C(x)=10x -0. 003x +5x +1000,那么生产多少单位产品时,边际 -6 3 2 C '(x ) 最低?(边际成本:生产规模增加一个单位时成本的增加量) (2)、如果C(x)=50x+10000,产品的单价P =100-0.01x ,那么怎样定价,可使利润最大? 变式:已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ,价格p 与产量q 的函数 关系式为p =25- 1 q .求产量q 为何值时,利润L 最大? 8 分析:利润L 等于收入R 减去成本C ,而收入R 等于产量乘价格.由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式,再用导数求最大利润. 解:收入R =q ⋅p =q 25-q ⎪=25q -q 2, ⎛⎝1⎫8⎭⎫⎭ 18 利润L =R -C = 25q -q 2⎪-(100-4q ) =-q 221q -100(0
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