“以实代虚”数学解题方法第二课学习，小学非常实用的数学方法

“以实代虚”数学解题方法第二课学习，小学非常实用的数学方法

大家好我是小梁老师，这节课我们继续来学习“以实代虚”这一解题方法，还没有学会的同学，尽快学起来。本节课内容接上一课。

【例6】下图中阴影部分面积占正方形面积的几分之几(A、B位于所在边的三等分点上)?

解题分析：为了推算方便，我们假定正方形的边长为6厘米(也可以假定为其他数)，中间阴影部分的面积就可以从正方形面积中减去周围三个空白三角形的面积。列式如下：

1.阴影面积：

6×6－6×2÷2－4×2÷2－6×4÷2

＝36－6－4－12

＝14(平方厘米)

2.正方形面积：

6×6＝36(平方厘米)

3.占几分之几?

14÷36=7/18

答：阴影面积占正方形的7/18。

---

【例7】甲、乙两所小学，甲校的人数相当于乙校的40％，甲校有女生30％，乙校有男生42％。求甲乙两校的女生占两校总人数的百分之几?

解题分析：在这道题目中有甲、乙两所学校，各校又分别有男生和女生。题目虽然给了三个百分数，但这三个百分数互不相连，便使问题变得更加抽象、复杂。解答这道抽象问题的一个巧妙方法就是假定具体人数。

由“甲校的人数相当于乙校的40％”，我们假定乙校的学生数为100人，甲校的学生数则为40人(100×40％)。然后依据这两个“具体人数”去逐一推算当然就不困难了：

1.甲校的女生人数：

40×30％＝12(人)

2.乙校的女生人数：

100×(1-42％)＝58(人)

3.两校女生一共多少人?

12+58＝70(人)

4.两校女生共占百分之几?

70÷(100+40)=50%

答：两校女生占总人数的50％。

(请同学们想一想，如果改动一下假定的数据：假定乙校有200人或500人等，会不会影响最后的答案呢?请大家试一试。)

---

【例8】足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之ー。算一算门票降价多少元?

解题分析：假定原来的观众是100人，总收入刚为1500元(15×100)。降价后“观众增加了ー半”，则为150人(100+100×1/2)；总收入“增加了五分之一”，则为1500+1500×1/5＝1800(元)。

有了以上这些具体的数据再来推算门票，“降价多少元”就毫不困难了。列式为：

先算新的门票价：

1800÷150＝12(元)

再求降价多少：

15－12＝3(元)

---

【例9】有两包糖，每包糖内都有奶糖、水果糖和巧克力糖。

A.第一包糖的粒数是第二包糖的2/3；

B.第一包糖中的奶糖占25％，第二包糖中的水果糖占50％；

C.巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占百分比的两倍；当将这两包糖合在一起时，巧克力糖占28％，那么，水果糖所占的百分比是多少呢?

解题分析：假定第一包糖是20粒，第二包糖则为30粒(依据题目中的第一个条件)；进而利用这两个具体数推算出：

第一包糖中有奶糖20x25％＝5(粒)；

第二包糖中有水果糖30×50％＝15(粒)；

两包糖中共有巧克力：(20+30)×28％＝14(粒)。

再回过头去思考题目中的第三个条件，即如何把“14粒巧克力”分配给这两包糖果，使“在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占百分比的两倍”。通过几次“粗略”的“估算”，可知，第一包糖分8粒，第二包糖分6粒。

即：8÷20＝40％

6÷30＝20％。

这时就可以算出第一包糖中水果糖的粒数：

20－5－8＝7(粒)

将两包糖合在一起，总粒数为20+30＝50(粒)，水果糖一共有15+7＝22(粒)。

水果糖所占的百分比为：

22÷50＝44％。

答：水果糖一共占44％。

---

【例10】在一个面积为32平方厘米的正方形内画一个尽可能大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米?

解题分析：根据题意作图如下：

一般说来，计算圆的面积需要用上半径，图中这个圆的半径恰好为正方形边长的一半。但是正方形的边怎么求呢?这对我们小学生来说，的确是一个无法逾越的障碍。因此，解答这道题目就应另辟蹊径了：

解法一：扩大法。

把正方形的面积扩大2倍，得64平方厘米，其边长为8厘米。由此推算圆的面积(注意，最后还要缩小2倍回到原题)：

3.14×(8÷2)²÷2＝25.12(平方厘米)

解法二：缩小法。

把正方形的面积缩小2倍，得16平方厘米，其边长为4厘米。由此推算圆的面积，最后同样应扩大2倍回到原题：

3.14×(4÷2)²×2＝25.12(平方厘米)

解法三：假设法。

假设正方形的边长为“2厘米”，圆的半径则为“1厘米”。由此算出圆面积与正方形面积的比：

(3.14×1²)：(2×2)

＝3.14：4

＝157：200

回到原题，设正方形内那个圆的面积为x平方厘米，列方程：

x：32=157：200

x=32×157÷200

x=25.12

原来这么一道十分抽象的题目，解法却这样灵活、丰富。以上解法的共同之处是利用具体数据去推算。

---

这节课的内容就这么多，以后还会给大家讲解更多有用的数学方法，我是小梁老师，下节课见！

---