平面向量极化恒等式是什么黑科技？解决高考数学的动态向量有奇效

上文《圆上双动点，先固定一个，求数量积运算有妙法，还是几何好》回答了一个读者朋友的问题.

昵称为“张长新”的读者朋友在留言里说：这个题可以用三向量平方法.

于是，我写了《三向量平方法是什么黑科技？》

他后面还有半句话：也能用极化恒等式.

极化恒等式，这又是什么黑科技呢？

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极化恒等式介绍

极化恒等式类似平方差公式

(3)式就是极化恒等式，平淡无奇.

但是在三角形中就能体现出威力来.

在三角形中展示威力

由极化恒等式就能得出下面的等式.

把数量积问题转化为边长问题

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在本题中的应用

如图，C，D是以AB为直径的圆O上的动点，已知|AB|=2，则向量AC与向量BD数量积的最大值是多少？

首先，为了使用极化恒等式，要把向量的起点放在一起.

起点变化到一起，方便使用极化恒等式

下面求DC向量点乘DB向量的最小值.

取中点，用极化恒等式

取BC中点M，连接OM，DM，使用极化恒等式求最值.

用到基本不等式和三角形边长关系

当DM和OM的长度均为1/2时，取到最值.