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高斯 高斯：可以与欧拉比肩，在数论上当之无愧的史上第一，几何史上top5，在代数领域也做了阿贝尔，伽罗华之前的最强的成就，在分析领域，也仅次于魏尔斯特拉斯，柯西，黎曼，阿贝尔等几人能稍微领先他。在1840年以前，高斯在数论，几何，代数，分析四大数学领域里均做出了当时最顶尖的成就，拥有过属于自己的统治时代，这一点上也只有牛顿和欧拉做到过。换言之，在1840年代群论和椭圆函数论逐渐崭露头角大放异彩之前，高斯是史上第一人毫无争议。 从广度与厚度以及全面性来看，高斯无疑可以说是史上第一人，可以说，高斯一个人做到了很多人一起做到的工作，堪称智力奇迹，但论及深度，精度，开创性，洞察力，颠覆性，高斯显然就逊色了，几乎在十九世纪近现代所有最重要数学标志性成果，竟然没有一项的发明权是属于高斯的！很惊异吧？在很多人眼里史上第一的数学家，竟然没有一项成果可以跻身19世纪最重要的顶级成果的行列！近现代数学的标志性成果，黎曼几何、非欧几何、群论、椭圆函数论、复分析、分析基础严格化、复变函数论等等，没有一项是由高斯创立的！虽然高斯几乎在所有领域都作出了杰出的贡献，但他不是决定性的人物，群论归功于伽罗华和阿贝尔，椭圆函数论上阿贝尔，雅可比的工作超越了高斯，复分析与分析基础严格化以及复变函数论成就最大的是黎曼，柯西，魏尔斯特拉斯，虽然高斯被认为是非欧几何创始人之一，但他没有公开发表论文，而且完成度不如罗巴切夫斯基，鲍耶，虽然高斯引入曲率和测地线成为现代微分几何的奠基人，但将非欧几何、微分几何、椭圆几何大一统的黎曼几何是黎曼创立的，即使在高斯最强的数论领域，高斯所有数论的著作，没有一篇比得上黎曼猜想这篇仅仅八页纸的论文来的重要！而且高斯也只是统治了初等数论，对代数数论，解析数论贡献不大，甚至不如黎曼，戴德金，狄利克雷！ 黎曼 黎曼：代表作黎曼几何(人类数学史，物理史，乃至思想史，史上最重要一次智慧与认知突破，对整个人类意义层面上来说，黎曼几何产生的时空观念，堪与牛顿力学，进化论，相对论，量子力学等相媲美，其重要意义远超过微积分和群论。)黎曼曲面，流形(现当代数学，物理的最重要的数学构造和基础工具之一)，黎曼洛赫定理(当代代数几何乃至物理学的数学中心定理中心支柱之一)，黎曼映射定理(听说过黎曼曲面的高维单值化定理吗？)，黎曼猜想(最重要的数学猜想，史上最惊艳的个人秀，单核碾压全时代数论学者包括高斯无压力，一篇仅仅八页的短文，160年前，迄今未被超越) 。虽然说文无第一，但是从纯数学上来看黎曼的突破性和难度上是最大的，不考虑其它方面，仅仅从数学成就的角度来看，黎曼无论在重要性，影响力，颠覆性和突破性上，都远远超过高斯,欧拉,牛顿，换言之，黎曼在数学上的成就，大约等于高斯加欧拉再加上牛顿和庞加莱的总和，他们的差距大概这么远。难度上来说，黎曼以下的数学家，跟他差距都比较大，基本不在一个等级上，除了庞加莱在拓扑学难度上可以稍微接近之外。 那么说黎曼比高斯成就高的理由是什么？ （1）以黎曼命名的数学成果共有81个，仅次于高斯(110个)，欧拉(102个)，数学成果多少不是黎曼的主要贡献，黎曼对如何证明发现几十几百条各个数学分支的定理兴趣似乎不大，黎曼只搞那些将几何，数论，分析等各类分支大一统的数学工具，重新改变数学的观念和定义！其他数学家停留在发现和研究数学，而黎曼直接是创造数学。这就是黎曼比高斯，庞加莱，欧拉，牛顿强的原因！黎曼所做的都是数学史上最重要的工作，而这些工作只有黎曼一个人在做。很多人说黎曼的主要成就是开创奠基了复变函数，非欧几何，解析数论，代数几何，拓扑学等等学科，这当然很伟大，也很形式化，但这个评价并不能准确评估黎曼的地位，如果黎曼只是开创了多少新学科，那么他的数学成就和地位不会比欧拉，高斯，庞加莱，希尔伯特，牛顿更高。开创许多数学分支并不是黎曼的核心成就，黎曼的辉煌是来自他在开创这些分支时所发明的方法和数学构造，而这些数学构造却是联接几何，分析，拓扑，数论，乃至物理的工具，比如黎曼曲面，流形，黎曼罗赫定理，黎曼映射定理，无不是直接联接数学与物理的最重要的数学工具，很难想象当代一流的数学家或理论物理学家能够不用到这些基础而作出一流的工作。黎曼的创造性的工作，使他成为史上迄今唯一统治了数论，几何，分析各大数学分支并为现代物理提供最强力数学构造的超神级数学家。唯一能够与黎曼接近的是庞加莱。虽然牛顿联接了分析与物理，但牛顿在数论，代数，几何上的成就太次，根本达不到水准之上；高斯和欧拉，柯西等人成果覆盖数论代数几何分析，号称全才，但和黎曼直接联结分支的工作比起来，就显得完全不是一个档次的工作了。黎曼一篇八页的论文，就能干掉高斯除算数探索和曲面几何之外所有成果的总和了。阿贝尔，伽罗华的群论抽代思想，既可以对数学全局具有统治力，也完美联结物理，本可以与黎曼抗衡，但他们的完成度太低，短命留下了数学史上最大遗憾。黎曼唯一的缺憾是没有对代数群论作出成果，影响了他真正大一统数学领域，但也留下了大手笔，请不要忘记，黎曼-罗赫定理是现代抽象结构代数几何的中心！ （2）黎曼从来不以证明定理、爆算能力著称，甚至不在乎证明的严格性。黎曼只搞自由自在的创造！黎曼面，流形，度量，曲率张量，亏格，参模数，模空间，力即几何，空间弯曲，等等在当时看来稀奇古怪的数学新概念新观念，后来都被证明黎曼提出的新观念，新概念。这些才是数学物理的正确打开方式，才是数学物理走进现代的基石，如果没有黎曼凭空搞出来的这些奇怪的东西，现代数学和现代理论物理估计就完蛋了，相对论和量子场论恐怕就是民科了，现在最热门的物理理论分支弦理论绝对不复存在了。而这些稀奇古怪的东西，在黎曼屈指可数的十几篇论文里俯拾皆是，这类新概念新观念，随便你发明了其中一个，都会成为中国第一乃至世界前几位的数学家！即使是他次一级的成就，比如柯西黎曼条件，黎曼积分，黎曼许瓦兹定理，黎曼泽塔函数等等等等之类，拿出来放在今天，也足以让任何一个数学家成为相关领域的顶尖学者！高斯是古典数学的集大成者，并启发了现代数学，但带领数学走进现代化的，是黎曼，伽罗华，阿贝尔，其中黎曼，才是现代数学和物理大爆发的原点！ （3）黎曼对当代物理学影响深远，华人数学家丘成桐，陈省身，物理学家杨振宁都是黎曼的脑残粉。丘成桐说中国学生中只要有人能完成黎曼一篇论文中的部分，这个人就能成为中国最伟大的数学家，虽然有点夸张，但也说明了黎曼的重大影响力。杨-米尔斯理论实质就是黎曼-罗赫定理至今的终极应用，每一次对这个黎曼-罗赫定理的推广成功都是数学和物理的巨大进步，英国当代最伟大数学家阿蒂亚(Atiyah)认为，杨-米尔斯理论实际上是数学科学大统一的核心。它是黎曼-罗赫-格罗腾迪克(Riemann-Roch-Grothendieck)定理的推广从而与代数几何相关，同时又将分析直接同拓扑及微分几何不变量联系起来。数学金字塔Top3，深度黎曼，广度高斯，难度庞加莱，黎曼站在高斯肩膀上并全面超越，但黎曼之后的数学巨匠庞加莱，格罗滕迪克都无法彻底走出黎曼的阴影，奠定上面两人核心地位的拓扑和代数几何雏形都是黎曼开创的，这仅仅黎曼部分成就，而黎曼对发现数学新理论，新分支，解决难题没有兴趣，仅仅是提供新的数学概念，观念，想法，却奠定了黎曼祖师爷地位。 （部分来源网络，如有侵权请联系删除！） |
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