戴德金：现代数学第一个王者

戴德金

戴德金是现代数学最关键的桥梁，现代对戴德金低估，实际上，就纯数学成就而言，戴德金完全有资格跻身全数学史TOP20，他是整个数学史上举足轻重的伟大人物。

伟大的分析学家，代数学家，数论学家，代数几何学家，某种程度上，戴德金是现代数学从萌芽阶段到成型阶段之间最重要没有之一的数学家。

高斯的关门弟子。

虽然克莱因认为黎曼才是高斯唯一真正的学生，但从学术视角和学术血缘，戴德金比黎曼更适合高斯的嫡系弟子的名头。

戴德金与高斯都是诞生于不伦瑞克，从不伦瑞克工业大学出身，都在哥廷根求学，都在哥廷根任教，都对数论作出重要成就，戴德金某种意义上是高斯数论的直接继承人。

但很显然，戴德金并没有因为是老乡的关系从冷漠的高斯那里得到多少照顾，也不可能和高斯建立好的个人关系。

高斯给戴德金的博士论文仅仅给出了比通过好一点的评语，敷衍了事。确实在戴德金的博士论文并没有见到后来伟大成就的痕迹。

据说在戴德金晚年曾经对学生抱怨了一个上午，唠唠叨叨就是埋怨高斯在他博士答辩的时候给他提出一大堆超级难的问题。

和狄利克雷亦师亦友

相对高斯来说，戴德金和狄利克雷的关系要好得多，狄利克雷对戴德金和黎曼极为重视，经常叫戴德金和黎曼一起远足，参加家庭宴会。

狄利克雷确实是伟大的教育家。

戴德金深受狄利克雷影响。

狄利克雷去世后，戴德金负责了狄利克雷全集的编辑工作，并以狄利克雷讲义为基础出版了数论讲义一书，这是继高斯算术探索之后最重要的一本数论经典教科书，对高斯数论做了全面的新诠释。

这本著作中相当大部分的的成果都是戴德金的原创，但他谦虚的把一切归功给狄利克雷。

和黎曼是好友。

伟大的黎曼一生朋友寥寥，戴德金，狄利克雷，韦伯算是交往最深的好友，但狄利克雷，韦伯都可算是黎曼的老师了，同辈中可以说戴德金是他交情最好的朋友。

戴德金可以算是黎曼的同门师弟，共同受业于伟大的高斯和狄利克雷门下。

戴德金很佩服黎曼，曾经去上过黎曼关于阿贝尔函数理论的课。并最终在此领域做出伟大贡献。

但戴德金对黎曼的几何观点似乎并不太以为然。

戴德金和黎曼堪称前哥廷根时期的数学双子星座，不过两人的学术风格泾渭分明，黎曼是典型的几何形象思维，戴德金是典型的代数抽象思维。

黎曼去世后，戴德金是黎曼全集的编辑之一，并为黎曼写了一篇小传，算是目前为止最客观的黎曼传记之一。

与高斯，狄利克雷，黎曼的交往，可以说是戴德金一生学术奠基的最重要的源头，同时，戴德金也为高斯，狄利克雷，黎曼去世后编辑全集。

虽然1858年后，戴德金再未回到哥廷根任教，但从传统上来说，戴德金是哥廷根学派早期重要成员是毫无疑问的。

戴德金情商很高，绝对是数学史上第一等的人物。

我们从戴德金的学术领域来看，戴德金大师再四个领域做出伟大的贡献。

1.分析学。实数理论，戴德金分割。

柯西建立微积分基础极限理论后，仍然遗留许多问题没有解决，最重要的遗留问题有三个，一个是连续与可微可导的问题，这问题由黎曼和魏尔斯特拉斯解决，黎曼可不是仅仅建立黎曼积分这种工具，黎曼在分析学上一个重要的成就是厘清了连续可导的最基础的分析基础严格化的关系与理论；

一个是多值函数的通用理论问题，这问题由黎曼复分析解决；

第三个问题是分析基础的算术公理化基础还没有解决，这也让柯西的分析学基础薄弱，容易陷入循环论证，并未最终牢固。

于是在19世纪后半叶，魏尔斯特拉斯提出分析算术化的理论，开始对分析学乃至数系的完善。

在这个征程中，戴德金的作用至关重要，是关键性的。

戴德金以连续性为基础，提出戴德金分割，以有理数定义无理数，从而彻底解决了从毕达哥拉斯古希腊时代对无理数疑虑的所谓第一次数学危机。

戴德金因此而对数系建立了周密的逻辑基础，这功绩的重要性无论如何评估都不以为过。

戴德金进而乘胜追击，研究有理数的生成基础，从哲学的高度，提出自然数的公理化基础，研究了元素的集合，集合的映射，并集交集的性质等，实质上完成了实数系的公理化基础集合理论！

意大利学者皮亚诺是戴德金学术的追随者，引用了戴德金的成果，并在此基础上形成等价的更简洁的公理集合，形成现代标准的公理集合，并提出序的概念，在此公理基础上的自然数体系，应用减法能得到整数系，应用除法能得到有理数系。有理数基础也被彻底解决了。

从而建立在连续性上的整体公理化集合的实数理论基础建成！

某种意义上，戴德金是现代实数理论的建立者，皮亚诺可以算是第二建设者，皮亚诺历来被低估，但在实数理论基础建设上，皮亚诺居功至伟，其提的序的理论也成为现代数学的重要基础。

戴德金及皮亚诺的实数理论，魏尔斯特拉斯的极限语言与分析算术化，最终滔滔洪流，汇聚到伟大的康托尔这里，最终建立了集合论！

集合论的诞生，彻底解决了分析基础严格化的问题，并成为一切现代数学的基础，这是数学史上最伟大的创造！

也因此，彻底解决了关于分析基础的所谓的数学史上第二次危机！

全数学史就只有三次数学危机，戴德金几乎以一人之力，解决了前两个数学危机，为现代数学打下最牢固的基础，其重要性无论如何评估都不以为过。

诺特阿姨在抽象代数工作中谦虚了说自己的理论在戴德金的学说中早已有之，同样的，在现代分析集大成者的集合论中的理论，同样在戴德金的学说中早已有之！

戴德金第二个最重要的数学成就在于代数领域。

戴德金是现代抽象代数最重要的奠基人，环，域，理想的理论，让他成为伽罗华阿贝尔与诺特中间的最伟大的近世代数桥梁！

戴德金率先在哥廷根大学开了伽罗华理论的课程，成为群论第一个课程推广者。传说戴德金曾莱讨论班有意吸引黎曼对群论研究，但没有证据表明黎曼对此感兴趣。

同时在研究高斯狄利克雷数论时，对代数数论有浓厚兴趣。在授课中，戴德金率先提出环，域的概念基础。

同时，戴德金提出抽象群的概念，就凭这个成就，从根本思想上改变了群的原始定义和构造，戴德金才是群论走向现代代数的关键人物，他比伽罗华阿贝尔要重要得多！

同时，戴德金创立了格论！

对戴德金代数影响最大的是他在柏林大学的老师库默尔！

戴德金发展了库默尔的理想数理论，提出理想概念，并进而发展出一般理想理论！

环，域，理想，格，一系列现代代数学的中心理论都起源于戴德金。

戴德金往上继承伽罗华阿贝尔萌芽的群论，大大的发展了由伽罗华阿贝尔萌芽的现代抽象代数，充实了理论的构成，下接伟大的希尔伯特和诺特阿姨！

可以说，正如诺特阿姨所说，她的一切理论都可以在戴德金的学说中找到。这并非夸张。看看戴德金的创造，在现代代数学的中心地位，就一目了然！

戴德金是现代抽象代数的奠基人，是伽罗华阿贝尔群论到诺特抽象代数的中间环节，也是不可缺少的关键一环，他的作用不下于伽罗华阿贝尔的开创之功和诺特的集大成之功！

戴德金第三大数学成就，是将黎曼开创的双有理代数几何建筑在代数基础上，建立了代数方向的双有理代数几何学，这是现代代数几何的三大最重要的源头之一，更是最直接的源头！

早期的代数几何萌芽于解析几何，射影几何，椭圆函数论等，到黎曼阿贝尔函数理论将椭圆函数理论纳入复分析后，开创了解析方向双有理代数几何，这是一个关键性的节点！是代数几何学进入现代的标志！时至今日，代数几何的中心和基础依然是黎曼开创的工具方法。

现在将代数几何的三个源头分为黎曼的分析方向代数几何、克莱布什哥尔丹以及意大利学派的几何方向代数几何、戴德金韦伯希尔伯特开创代数方向代数几何，其实这是不太确切的。

确切的说法是，黎曼双有理代数几何是现代代数几何的总源头，其发展出来的分析、几何、代数三个方法方向的代数几何，经过数十年发展，到布尔巴基学派汇成一股洪流，经教皇JP等大师拧成一股，融合各派思想，方法，工具，结论，采用全新的代数语言和拓扑语言，统一并创造了现代代数几何！

黎曼开创的解析方法，因为证明不严格，在19世纪后半叶被主流抛弃。

而为了挽救黎曼的成果，欧陆数学家开始从不同的角度，跳过黎曼的应用黎曼曲面的解析方法，换了几何方法，代数方法，重新证明黎曼结论的正确性。

黎曼之后，克莱布什，哥尔丹，马克斯诺特延续经典射影几何的方法角度，将黎曼双有理代数几何进行了成就斐然的发展，取得很多有趣的结论。

而最重要的是戴德金创造的代数方向的双有理代数几何！

黎曼双有理变换建筑在有理数域上，有理数域又是一个代数概念，已经将几何与代数联系起来，戴德金从此入手，将黎曼双有理代数几何从分析方向用代数语言重新构建了一遍，并推广到代数数域上，用算术方法证明了黎曼洛赫定理，赋予黎曼双有理代数几何严格的抽象代数算术基础！

这是代数几何发展史上至关重要的事件，代数算术语言统治了几何！

戴德金的思想经过希尔伯特至布尔巴基，这是现代代数几何最直接的源头！

在重构黎曼代数几何理论同时，戴德金定义发展了许多抽象代数工具，对抽象代数的发展和形成，同时取得重大成果。

而且，这几乎是抽象代数自发展以来，第一次展现了无与伦比的威力！已经开始被数学主流接纳，成为统治现代数学的一个最重要的事件和先声！

戴德金是现代代数几何的直接源头，就凭这个功绩，他就足以在19世纪名列前茅！

戴德金第四个伟大成就，是在数论上。

他开创了现代代数数论！

戴德金与克罗内克在数论中通过引入一般理想论，用抽象代数的语言，创立了严格意义上的现代代数数论！

只凭这一项成就，戴德金就至少足以站在全数论史上TOP5！

如果说戴德金用抽象代数算术语言重构黎曼双有理代数几何，意味着抽象代数对几何与分析的统治，那么戴德金开创现代代数数论，则意味着抽象代数对数论的统治！

可以说，戴德金是抽象代数全面统治数学的第一个王者！戴德金宣告了抽象代数的全面崛起，并预示了抽象代数在未来的统治数学语言方法工具的至高无上的地位！

就凭这一点，戴德金就比伽罗华强一档！

戴德金历来被低估。

他是数学史上有数的大师！

代数学上：他是群论到抽象代数中间的关键性的桥梁，环域格理想理论的开创者(现代抽象代数的几乎全部内容都源于戴德金)，抽象代数最重要的奠基人！没有戴德金就没有现代代数学并不以为过，全代数学史上名列前茅的大师！

分析学上：戴德金的实数理论是集合论的基础，解决数学史前两次所谓数学危机，为分析学基础严格化奠定最重要的基石！

数论上：戴德金是现代代数数论的创始人，现代代数数论如今已经统治了数论！

地位上：戴德金是第一个用抽象代数工具统治了分析，几何，数论的王者级数学家！从数学上来说，某种意义上，戴德金是现当代数学的第一个王者！他比高斯，魏尔斯特拉斯更有说服力！

如果论硬学术成就，戴德金要超过一大批历史地位比他高的数学家！

比如他的老师，数学史顶级大神王子高斯，高斯在几何上远强于戴德金，数论上强于戴德金，但戴德金在代数上远强于高斯，分析上强于高斯！看下来，戴德金还比高斯的略强一筹！

很反直觉，不是吗？但这就是事实。

戴德金历来被低估，原因很多。

第一，一般理论诞生后，其理论就变成次要和边缘化了。康托尔集合论的诞生，让戴德金皮亚诺的实数理论自然数公理集合基础理论退居次要；诺特抽象代数诞生后，戴德金的理论被纳入抽象代数范畴，成为组成部分。这也直接拉低了戴德金的地位。

第二，戴德金的思想原创力和洞察力，想象力不如许多开创者大神。比如戴德金用抽象代数语言重构了黎曼双有理代数几何，但在原始创造力上与黎曼不是一个数量级。比如代数领域，论实际成就，戴德金要高于伽罗华，但在开创性的思想上，距离伽罗华差距很远。数学界最推崇的就是思想的创造和数学计算结构的原创力，这无疑也直接让戴德金被低估。

第三，戴德金一生淡泊名利，没有少年早慧的故事宣传，也没有惊天动地的事迹传播，基本上也是默默无闻的一个数学家。

但毫无疑问，戴德金是历史上伟大的数学家。

戴德金与黎曼可以说是哥廷根学派的双子星座，虽然没有黎曼那么深刻，但戴德金也绝对是站在数学史前列的数学巨星！

附带提一句，戴德金活了85岁，直到1916年才去世。虽然没有魏尔斯特拉斯这样桃李满园，荣誉满身，但也是星光闪闪的一生。戴德金一生淡泊名利，高斯去世时的抬棺人，狄利克雷的挚友，黎曼的好朋友，为三位大师超级，全集，一生兢兢业业。他的思想和学术，随着康托尔，希尔伯特，诺特的继承和传播，成为现代数学基础，他为数学建立的丰功伟绩，永远值得后人铭记。