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日本数学家们在现代数学的发展过程中取得过一定的成就，与此同时，他们也比较重视现代数学知识的整理和传播，及时地将抽象的现代数学知识整理成书，用本国的语言写出了许多现代数学的教科书和学术著作，特别是写了数量很多的数学阐释性和数学文化方面的书籍，以及数学各个分支方向的入门科普书，这样就可以对下一代的新手数学家、科学家和现代数学的爱好者们进行高质量的数学传播与教育。 日本的大型书店的面积其实和我们国内大城市里大型书店的面积差不多一样大，但是日本书店所销售的图书种类却远比国内书店的图书多得多，其中的一个原因是：他们所有的新书（除了个别畅销书）基本上在店堂内的书架上只放一本，这样在有限的空间内就比国内的书店多放了许多书。当一本图书被销售后，工作人员会立即从库房中调取与这本被读者买走的书相同的图书，及时地补充入店堂内原来的书架上（由此可以想象日本的大型书店应该都有自己的体量很大而且容易索取图书的库房）。还有一个细节是，笔者在日本的书店里没有看到过任何一本新书有塑封的，并且所有的新书基本上都很崭新，这说明日本的读者在挑选新书时一般都为他人考虑，会比较小心地翻阅新的图书。 本文介绍笔者在日本东京的一家大型书店里所看到的一部分数学专业类新书，这些新书都位于下面这张照片里的一个书架上： 图1：日本书店里的数学专业类新书（一） 1．第一排书在书店里的这个书架上，一共有四排书。上面的第一排书的内容基本上都属于抽象代数的范围。我们从左到右地看起，开始的七本书都是讲线性代数的，它们依次是：《线性数学》、《线性代数学入门》、《线性代数》、《线性代数学基础》、《线性代数概论》、《线性代数学概说》（雪江明彦）和《线性代数的世界》（斋藤毅），其中一本书的作者雪江明彦是一位很擅长写书与讲课的代数学家，而另一本书的作者斋藤毅则是一位专长于现代数论的著名数学家（他曾经写了一部比较有名的专著《费马大定理》），他们能够抽出大量的时间来写这么浅显的书，这充分说明了线性代数对于整个数学学科的基本重要性。 接下来是一本黄颜色封面的《从线性空间开始学抽象代数的入门》。实际上在国外，经常将线性代数和抽象代数放在一起讲（在历史上线性代数曾经是抽象代数的一部分），这种讲法可以很好地显示线性代数其实是抽象代数的一个基本的思想来源，同时抽象代数也是线性代数发挥作用的主要场所之一。我们国内的机械工业出版社在2009年翻译M. Artin写的名著《代数》，就是这样用线性代数来讲解抽象代数的。 接着是一本很厚的《代数学》（第1卷），“代数学”在日语中就是指抽象代数学。日本的大学数学系一般都比较重视抽象代数的教学，这主要是因为抽象代数目前已经成为了当代大部分数学分支的通用语言。在《代数学》（第1卷）右边的是一本《李代数入门》，李代数是一种不满足运算结合律的代数系统，李代数与李群有着十分密切的对应关系，它们在数学和物理学中有不少重要的用处。再接下来的是一本属于代数几何的讲义《代数簇理论》，其作者是著名的代数几何学家川又雄二郎，该讲义很受日本数学界的推崇，主要是因为它从初学者们的角度来考虑，只讲复数域上的代数几何，这样就避免了许多涉及一般域的复杂的代数细节，从而就可以让初学者从一开始就直接深入到代数几何的中心内容中，例如像奇点解消、消失定理和代数曲面的分类这样的十分艰深的课题。 在《代数簇理论》右边的是一本《通向研究生院的代数学习题集》，它类似于我们的考研复习书，可以帮助学生进一步掌握抽象代数。日语中所说的“大学院”就相当于是我们国内大学里的研究生院。位于该习题集右边的是一本《谈谈代数曲线》，代数曲线是一维的代数簇，它是代数几何里最简单的研究对象。在日本的大学里，往往将代数曲线课程作为代数几何的入门课程，所以书店里关于代数曲线的讲义和科普读物比较多。在《谈谈代数曲线》右边的是一本《容易理解的代数》。 接下来的一套比较流行的三卷书是雪江明彦写的抽象代数三部曲：《代数学1：群论入门》、《代数学2：环、域和伽罗瓦理论》和《代数学3：更多的代数理论》。日语中的“体”就是域，从该套书的第1、2卷的书名中，我们就可以大致知道其中的内容，而第3卷“更多的代数理论”的内容则包含了：域论的进一步发展、交换环理论入门、赋值与完备化、张量代数与双线性形式、表示论入门、同调代数入门等。由于现代数学的迅速发展，过去只讲群、环、域的抽象代数课程已经远不能适应教学的需要，而雪江明彦的这套抽象代数三卷书的内容则代表了21世纪抽象代数的一个比较完整的课程体系。 紧挨着抽象代数三部曲的是一本科普读物《面心的代数几何学》，它的内容大意是用面积来说明代数几何的一些简单思想。在此书的右边，是范德瓦尔登的经典名著《代数学》的日译本的第一册，这部历史名著系统总结了到1930年为止的抽象代数的基本理论，对现代数学的发展影响极大。在此日译本的右边是一本《代数学入门》，它同样是讲抽象代数中的群、环和域。 在《代数学入门》右边，又是一套抽象代数的三部曲书，它们依次是《代数学I：群与环》、《代数学II：环上的模》和《代数学III：域与伽罗瓦理论》，这套写得很仔细的书的作者是代数学家桂利行（他曾经写过一本很受欢迎的《代数几何入门》）。第二卷书名中的“加群”在日语中是指模。位于这套三部曲书右边的书是《代数入门——群与模》，而在其右边的《理工基础：代数系》也是一本讲抽象代数的书。 在第一排书的最右端，陈列着四本专门讲伽罗瓦理论的书，它们从左到右依次是《伽罗瓦与伽罗瓦理论》、《伽罗瓦的数学：域论入门》、《伽罗瓦理论》和《伽罗瓦理论入门》。伽罗瓦理论对20世纪现代数学的发展具有很重要的影响，这个理论起源于法国数学家伽罗瓦在研究一元代数方程的解是否有根式表示问题时，所作出的重要发现，即可以将复杂的扩域问题转化为比较简单的具有对称性的置换群结构问题，从而彻底解决了5次以上的代数方程何时有根式解的经典问题。由于伽罗瓦理论后来直接导致了抽象代数学的诞生，所以只要懂得一点伽罗瓦理论的基本内容，就能够初步领略抽象代数思想方法的精髓，因此日本数学界非常重视对于伽罗瓦理论的著述与传播。笔者在东京的几家大型书店里，总共看到了十几种不同的讲解和科普伽罗瓦理论的初级读物。 2．第二排书位于照片中第二排的书主要都与数论有关。我们同样从左到右地看起，开头三本书都是讲初等数论的，它们依次是有着蓝色封面的《数论入门》、以及《探险！数的密林与数论的迷宫》、和《初等数论》，数论在日语中也称为“整数论”。在这三本数论书右边的是一本关于逻辑学的练习册。 接下来的一套三卷书是由雪江明彦写的数论三部曲：《数论1：从初等数论到进数》、《数论2：代数数论基础》和《数论3：解析数论的魅力》。该套书用流畅的文笔系统地介绍初等数论、代数数论、解析数论中最基本的内容，其目的是为初学者以后进一步学习20世纪的现代数论打好扎实的基础。现代数论充分运用了抽象代数、代数几何、多复变函数、调和分析、表示论和自守形式等学科的成果，其发展触发了现代数学中的许多重要进展。 紧挨着数论三部曲的是三本与大数学家黎曼有关的书，它们依次是《黎曼的数学与思想》（加藤文元）、《黎曼的梦想——zeta函数的探求》（黑川信重）和《黎曼猜想》（黑川信重），作者黑川信重是一位以研究黎曼猜想见长的数论专家。黎曼猜想可以说是整个数学中最著名的一个猜想，它对黎曼函数的无穷多个零点的位置作出了十分准确的预测，而试图证明这个著名猜想的过程则触发了现代数学的许多重要进展（例如Weil猜想的证明）。紧接着这些书的是一本《向高斯学习初等数论》，该书直接在历史的框架中讲授通常的初等数论课程的内容，用原汁原味的高斯同余方法来引入相关的主题。再接下来，是一本黄色封面的科普读物《数论的概观》，然后接着的是由黑川信重等人一起写的《黎曼猜想会不会解决》一书。 在《黎曼猜想会不会解决》的右边，是《极限的数论入门》、《数值文化论》和《平均曲率流》这三本书。《平均曲率流》一书显然是被读者翻阅完后放错了位置，它原本应该放在下面第四排的微分几何类图书中。平均曲率流是几何分析中一个比较新的研究方向，它运用了偏微分方程的理论来研究光滑子流形随着时间而演化的规律，从中得到了各种收敛性和几何性质的结果。 在《平均曲率流》右边的是一套由著名数学家西格尔（C. L. Siegel）撰写的《解析数论I、II》的日译本，西格尔对解析数论、代数群和自守形式等均有重大的贡献。在《解析数论I、II》的右边，是一套翻译的《数理逻辑讲义（上、下）》。接着是几本跟函数有关的书，它们依次是：《从素数到 函数，再到混沌》、《欧拉的 函数》、《欧拉的 函数理论》、《欧拉的数论研究》（两本）和《欧拉 函数论文集》（两本）。在现代数论中，关于函数的研究占据着一个十分重要的位置，而黎曼的 函数则直接来源于欧拉的 函数（也就是著名的欧拉乘积公式），因此欧拉的数论思想实际上是非常深刻的。 在第二排书的右端，还放了另外一套西格尔的《解析数论I、II》，由此我们可以看到在日本的书店里，对个别销路比较好的书可能会多放一本（套）。 3．第三、四排书的左边部分在上述照片1所拍的这个书架上，第三排主要摆放着与拓扑学和微分方程有关的新书。而第四排放的则是几何类的新书。为了看起来更加清楚起见，笔者对第三、四排书按照左右两个部分重新拍了照。先来看第三、四排书的左边部分的书： 图2：日本书店里的数学专业类新书（二） 我们从图2这张照片上面一排书的左边看起，开始的十几本书主要都是讲集合论初步和点集拓扑的，它们介绍了一些关于集合的运算、映射、可数集与不可数集、拓扑空间的基本概念、紧致性和连通性、商空间与闭曲面等最基本的知识。 开头是两本完全相同的黄白封面的《拓扑初步》，然后依次是《集合入门》、《拓扑入门》、《集合与拓扑》（内田伏一）、《集合与拓扑》（小森洋平）、《集合与拓扑》（斋藤毅）、《集合与拓扑欣赏》、《拓扑空间》、《希腊三大难题》、《集合与拓扑》、《集合、逻辑与拓扑》、《现代集合论的探索》（寺泽顺）、《集合、映射与数系》、《交换环论入门》、《通过例题来学习集合与逻辑》、《集合入门》、《从 证明到拓扑学》和《通过例题来展开学习集合与逻辑》等。 这些书目中的《交换环论入门》，其实属于抽象代数中的交换代数范围，它译自代数几何学家M. Reid的《Undergraduate Commutative Algebra（本科交换代数）》，是一本写得很平易的交换代数入门书。交换代数的重要性在于：它是代数几何最基本的语言。 上述书目中还有一本《从证明到拓扑学》，它的作者是永田雅嗣。该书从读者熟悉的数学分析中十分经典的 证明语言入手，来逐步引入点集拓扑中拓扑空间的基本概念，这对初学者们来说是比较自然和容易理解的。 接下来是六本书都与范畴理论有关。范畴理论是从数学的各个领域中概括出来的一种极为抽象的代数理论，这个理论（特别是其中的“函子”概念）已经被运用到了现代数学的许多分支中，例如拓扑学、微分几何和代数几何等。不仅如此，范畴理论甚至还被应用到了计算机科学和物理学中。范畴在日语中被称为“圈”，因此这些书的书名中的“圈论”就是指范畴论。这六本讲范畴理论的书（中间夹了一本编码逻辑的书）从左到右依次是：《范畴与模》（清水勇二）、《范畴理论》（译自Steve Awodey的《Category Theory》的第2版）、《范畴论的方法》（中冈宏行）、《基础范畴论》（译自Tom Leinster的《Basic Category Theory》）、《适用于量子计算模型与逻辑的范畴论》、《编码逻辑入门》、《范畴理论的发展脚步》。 现在我们再来看图2这张照片的下面一排书。 从左边开始的六本书基本上都是在讲微分方程：《Navier-Stokes方程的数学基础》、《弄明白微分方程》、《熟练地使用极限》、《微分方程》、《适用于工科的偏微分方程》和《微分方程》。 接下来这部分的书都属于几何学或拓扑学。从左开始：首先是《拓扑学通俗讲话》（横田一郎），然后是著名微分几何学家小林昭七写的重要著作《联络的微分几何与规范场理论》。规范场理论又称为“杨（振宁）-米尔斯理论”，它是研究自然界四种相互作用力（电磁、弱、强、引力）的最基本的理论，这个理论对于20世纪数学与物理学的发展都极其重要。规范场理论的数学基础主要就是纤维丛的微分几何，而这个理论中的规范势正好就是纤维丛上的联络。 在《联络的微分几何与规范场理论》右边的是一本内容非常全面的整体微分几何著作：《微分几何学》（今野宏），该书的内容主要包括了微分流形与向量丛、向量丛的联络、黎曼流形、黎曼流形上的几何、流形上的微分算子、主丛、示性类、复流形、Kähler流形、辛流形，以及流形上的分析等，几乎包含了所有的整体微分几何基础知识。 在《微分几何学》右边的是一本《快乐学习初等几何》，紧接着的是“莫斯科数学广场”丛书中的第2册《几何篇——面积、体积与拓扑学》。 然后是一本很经典的微分流形教科书《（微分）流形入门》（松岛与三），日语中的“多样体”一般就是指微分流形。这本书初版于1965年，后来在1972年被翻译成了英语，书名是《Differentiable Manifolds（微分流形）》，其作者Y. Matsushima就是松岛与三。在上世纪70年代，微分流形的教科书还非常少，而这本《Differentiable Manifolds》在当时是最流行的英文教材，帮助了世界范围内的许多现代微分几何的初学者。 在《（微分）流形入门》右边的是《从具体例子学习（微分）流形》（藤冈敦）。在日本的书店里，有不少像《从具体例子学习（微分）流形》这样的写得很容易读懂的初级读物，它们的特点是充分运用大量具体的例子，来帮助学生理解非常抽象的现代数学最基本的概念和理论。 在《从具体例子学习（微分）流形》的右边，是一部高水平的专著《计数几何讲义》（池田岳）。计数几何（enumerative geometry）是代数几何的一个重要分支，它主要研究多元代数方程组的解的个数问题，例如可以运用代数几何中的相交理论来严格证明一个经典的定理：与5条已知圆锥曲线都相切的圆锥曲线一共有3264条。笔者认为这本最近新出版的《计数几何讲义》（池田岳）可能是世界范围内第一部系统阐述计数几何基本理论的专著（在此之前的成果都分散在大量的论文中）。 紧接着《计数几何讲义》的是一本初级读物：《几何学序论：彻底弄明白逻辑、集合、映射与拓扑》，在其右边的是由几何学家中岛启写的《微分几何学最前沿》，日本数学家们经常会写一些关于现代数学前沿研究的介绍性读物，以吸引和鼓励年轻的学者能够进入到数学的前沿研究中来。在《微分几何学最前沿》的右边，还有《几何光学的正准理论》与《三角形与圆的几何学：数学奥林匹克几何问题完全攻略》这两本书。 接下来是由几何学家坪井俊写的一套现代几何学的入门教材：《几何学I：（微分）流形入门》、《几何学II：同调入门》和《几何学III：微分形式》。从现在日本的大学几何学教材中可以看到，在他们的大学数学系几何类课程中，已经适当压缩了经典的三维空间的曲线论与曲面论的内容，而增加了高维的微分流形理论，以及相关的同调与上同调等现代内容。 在上述这套几何学教材的右边，是一本《自旋（Spin）几何学》，自旋几何学是黎曼几何学的一个现代分支，它主要研究自旋流形的几何性质。在《自旋几何学》的右边，是小林昭七写的《曲线与曲面的微分几何》。 在《曲线与曲面的微分几何》的右边，是一本由难波诚写的代数曲线初级入门读物《代数曲线的几何学》。这本《代数曲线的几何学》着重于提供直观的几何背景知识和代数曲线理论的一些最基本想法，它运用丰富的例子和图形通俗介绍了二次曲线的射影几何、代数曲线的亏格、代数曲线的黎曼面等最简单的内容。 紧挨着《代数曲线的几何学》，依次是《慢慢地学曲线与曲面：微分几何学初步》（中内伸光）、《双曲几何学》和《文艺复兴的多面体百科》这三本书。 4．第三、四排书的右边部分我们接着再来看这个书架中第三、四排的右边部分的新书： 图3：日本书店里的数学专业类新书（三） 图3这张照片上面的一排书基本上都是讲微分方程的。从左边看起，依次有《韦尔斯感染与常微分方程》、《变分法》、《变分法与变分原理》、《常微分方程与罗特加·沃态拉方程》、《常微分方程与微分代数方程的数值解法》、《常微分方程学习指导》、《常微分方程》、《常微分方程》、《面心的代数几何学》、《微分方程入门》、《微分方程的邀请》、《微分方程》、《微分方程》、《通过自然（科学）现象来学习微分方程》、《简单易学的微分方程》、《马上就能懂的微分方程》、《微分方程》、《微分方程概论》、《微分方程教程》、《微分方程基础》、《偏微分方程讲义》、《微分方程（第2版）》、《应用微分方程》、《微分方程与数学模型》和《这就是微分方程》。 接下来，我们再来看图3这张照片的下面一排书。 左边的三本书在前面第三、四排书左边部分的照片中已经介绍过，现在的第四本书是由几何学家酒井隆等人编写的《几何分析》。几何分析是微分方程、非线性分析、微分几何与拓扑学的交叉学科，其目的是解决流形上的几何与拓扑问题，从上世纪70年代开始，一批数学家开始用偏微分方程的理论来研究微分几何中产生的偏微分方程，他们研究了流形上的函数论、流形的特征值、典则度量的存在性及极小曲面与极小子流形等问题，获得了前所未有的巨大进展，并最终证明了著名的庞加莱猜想。《几何分析》一书详细总结了几何分析理论中最基本的概念与方法，以及最新的主要成果，该书包括了相对论与正质量定理、Yamabe问题与Yamabe不变量、Dirac算子、Ricci流与3维流形、调和映射、Kähler流形的强刚性定理、以及复几何中的Kähler-Ricci流等重要内容。 在《几何分析》的右边，是一本由难波诚写的《平面图形的几何学》。接着依次是《初等几何学》、《曲线与曲面》、《波面的传播与奇异点》、《几何教程（上）》和《几何教程（下）》。 然后是由代数几何学家R. Hartshorne写的名著《Algebraic Geometry（代数几何）》的日译本：《代数几何学1》、《代数几何学2》和《代数几何学3》。近几十年来，R. Hartshorne的《Algebraic Geometry（代数几何》》已经成为了人们学习现代代数几何最常使用的教材。由于在该名著的日译本的正文后面，还给出了由两位译者写的一部分重要习题的详细答案（这对于初学者来说是很有价值的），所以日译本的篇幅就大幅增加了，因此分为了三册出版。R. Hartshorne的《Algebraic Geometry（代数几何）》实际上是代数几何学大师格罗滕迪克所写的巨著《代数几何原理》（即著名的EGA）的一个简写本，它从历史的角度出发，讲解了经典代数几何、概形的初步理论、概形的上同调理论、代数曲线和代数曲面等最基本的内容。 在这三册《代数几何学1、2、3》的右边，也是一本翻译的数学书，它译自J. H. Silverman与J. Tate一起写的本科教材《Rational Points on Elliptic Curves（椭圆曲线上的有理点）》，该书的日译本的书名改为《椭圆曲线理论入门》。椭圆曲线并不是椭圆，而是一种非常特殊的来源于椭圆的三次代数曲线。椭圆曲线在现代数论中的地位极其重要，例如著名的费马大定理就是通过运用椭圆曲线的基本理论而得到证明的。《椭圆曲线理论入门》一书所包含的主要内容有：椭圆曲线上的有限阶点、有理点群、有限域上的三次曲线、三次曲线上的整点、复乘。 在《椭圆曲线理论入门》右边的书依次为（从左到右）：《拓扑学》（加藤十吉）、《谈谈几何》、《Irisuna定理前编：欧氏几何的考察》、《Irisuna定理后编：非欧几何的考察》、《欧几里得几何原本》（日译本）、《四元数》、《四元数的发现》、《构造与拓扑》、《张量》、《开心的射影平面》、《折纸数学的扩充》与《折纸数学教室》。 5．结语本文只介绍了日本东京的一家大型书店中一个书架里的数学专业类新书（这家书店的数学专业书总共有三个书架，再加上一个书架的数学文化类书籍，而一般的大型书店都有十来个这样的数学书架，因此这家书店的数学专业新书还算是比较少的）。在日本的大型综合书店里，对于所有的数学专业类的新书，如果不是属于成套系列的书，基本上都是按照象“集合与拓扑”、“代数学”、“几何学”和“微分方程”这样的领域划分来分类放置的。走到日本大型书店里数学专业类新书的书架前，笔者的感觉像是到了一个收集完备的数学专业图书馆，其中的书目主题涵盖了现代数学所有主要的分支学科，这对于初学者们自发地学习和掌握现代数学基本理论是极其有利的。 关于日本书店里销售的其他数学专业新书的介绍，可以参阅笔者的另一篇文章“日本书店里的数学专业类新书”，其中按照现代数学各个分支学科的方向列出了详细的数学新书目录。 文稿|陈跃 编辑|朱善军 |
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