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再过一个月，各个大学的数学系将迎来新一届的学生们。一般来说，数学系的新生都会对未来四年将要学习的课程抱有一定的好奇心，他们很快就可以知道，大学数学系里所学习的数学知识的难度与中学里曾经学过的那些初等数学完全不在一个层次上，然而现代数学作为自然科学和社会科学的基础，已经在很多领域里起着关键性的作用，数学技术早已经成为了高技术的突出标志和不可缺少的组成部分，现代数学本身也成为了人类文明和思想文化遗产的重要支柱，所以很值得我们花费相当多的精力和宝贵的时间，去努力地学习、掌握和运用现代数学的各种知识。 在我们的邻国日本，他们的大学数学教育界一直比较关注本科生在大学数学各门课程学习的起步阶段中，因为遭遇“抽象数学”的冲击而感到困惑和失去学习信心的情况，为此不少数学教授在日本的《数学讨论班》等大学数学杂志上写了一系列的文章，来细致周到地对学生进行多方面的学习指导，其中包括了怎样改进学习大学数学的方法、怎样选择合适的大学数学参考书、以及提供各门大学数学课程中相关知识的要点和来龙去脉的背景材料等。 图1：《数学讨论班》杂志 在2011年的一期《数学讨论班》杂志上，有一幅很特别和很醒目的大学数学的鸟瞰图，它的作者是日本琦玉大学的数学教授福井敏纯。从这幅鸟瞰图里，我们可以看到目前在日本的各个大学数学系中，所设置的现代数学各主要分支学科课程的大致情况。 在下面，笔者想借用这幅图来简单介绍一下目前大学数学系的各门课程里所包含的主要内容。这幅鸟瞰图在本文中被分为了左右两个部分，我们先来看左边的部分： 图2：大学数学鸟瞰图的左边部分 一、集合论在这幅鸟瞰图左边部分的下方，正对着“数学王国”大门的是“集合论的花园”，其中的花朵有并集符号 与交集符号 ，还有一个表示可数集基数的“阿列夫零”记号（我们知道整数集和有理数集都是可数集），这个阿列夫零记号用来指明可数集当中所包含元素的“多少”。与中国的大学有所不同的是，在日本的大学数学系中有一门名为“集合与拓扑”的课程，其中主要讲解一些关于集合论与拓扑空间的最基本的知识，例如有集合的运算、映射、可数集与不可数集、点集拓扑等内容。由于现代数学各分支的研究对象都是具有某种特定结构的集合（例如群、环和拓扑空间等），因此集合论可以看成是整个现代数学的基础。 二、微积分在“集合论的花园”左边，是一个“微积分大草坪”，作者在其中画了曲线的切线、求体积的卡瓦列利原理图，以及在分析中非常重要的常数 。在这里，曲线的切线斜率代表了一元函数导数的几何意义，而卡瓦列利原理则代表积分学的早期思想萌芽。初等微积分的课程中所包含的基本内容有：数列与函数的极限定义、一元连续函数与导数、一元函数的极值与图形、泰勒公式、定积分与不定积分、多元函数与偏导数、重积分、线积分与面积分等。 微积分可以说是人类科学思想史上最伟大的创造，凭借着微积分这一有力工具，人们可以计算与表达大自然和人类社会中所有各种数量的精确值（以面积为例，初等数学只能算出任意不规则图形面积的近似值，而用微积分就能够算出精确值），从而为造就和支撑现代科学技术和人类文明的宏伟大厦奠定了坚实雄厚的数学基础。 三、线性代数（或高等代数）在该鸟瞰图中“集合论的花园”的右边，是一个“线性代数大草坪”。这里分别画了平面直角坐标系和空间直角坐标系、代表线性空间的常用记号 和 、行列式的记号，以及低阶行列式的计算法则（这个计算法则画在了鸟瞰图的右边部分）。线性代数是一门具有广泛应用的代数学基础分支学科，它主要研究数域上的有限维线性空间。这门课程的基本内容有多项式、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换、若尔当标准形和内积空间等。 线性代数的内容大致可以分为初等与高等两大部分（国内一般是在高等代数课程中同时讲这两大部分）：初等部分包括了矩阵论、行列式、线性方程组、二次型等内容，高等部分则主要包括了线性空间、线性变换、欧氏空间等理论。在线性代数的历史发展进程中，二次型及其矩阵的特征值起到了突出的作用，这是因为它直接引导出后续的“对角化”这一线性代数的中心主题。早在18世纪之前，数学家们就已经解决了二次曲线的化简问题，也就是通过旋转坐标轴，可以将二次曲线方程中的二次型化成只有平方项的标准形，再经过坐标轴的平移，就得到了二次曲线的标准方程，其中非退化的二次曲线只有椭圆、双曲线和抛物线这三种圆锥曲线。到了19世纪初期，数学家柯西进一步证明了个变量二次型的主轴定理。主轴定理用矩阵的语言来说就是：实对称矩阵一定和一个对角矩阵相似，并且这个对角矩阵的所有对角元素都是该实对称矩阵的特征值。 高等线性代数的核心是线性空间的理论，特别是关于向量组的线性相关和线性无关理论，一组向量线性相关可以定义为其中的一个向量是其余向量的线性组合，由此就可以从几何的角度来刻画和解释线性空间的几何构造（例如将线性空间分解为不变子空间的直和）。线性空间理论中最精彩的内容是线性变换的理论，其中包括了矩阵对角化的一般结果——若尔当标准形。 四、数学分析学完了以上的初等微积分、线性代数和集合论这三门课程，相当于是对大学数学有了一个初步的入门。接下来，学生们就要认真地学习和理解数学分析的严格理论，也就是要能够十分准确地理解和使用极限的 定义和 定义，来证明有关数列与函数极限的基本性质，特别是要用具体的数值例子来说明这些极限定义的内在含义。 我们在这幅鸟瞰图中可以看到，如果要想在数学王国里登堂入室和真正入门，就必须跨过一条名为“逻辑的小径”的道路，其中画了、 （任意）、（存在）和 （等价）等常用的推理记号，其中的意思是代表有关极限的 定义和定义的证明推导过程。在“逻辑的小径”的左端，还画了一个把关的妖怪，此妖怪号称“收敛判定大王”，专门检查各种级数 的收敛性。例如对于正项级数，有最基本的比较判别法，并且通过几何级数这一媒介，可以从中进一步发展出柯西判别法和达朗贝尔判别法。 在数学分析（相当于国外的高等微积分）课程中，级数的理论可以分为数项级数、函数项级数、幂级数和傅里叶级数这四个部分。从微积分和数学分析的发展历史可以知道，包括幂级数和傅里叶级数在内的函数项级数的一个主要用途，就是用来求解各种各样的微分方程。人们发现，许多微分方程的解根本不可能用初等函数来表示，它们只能用幂级数或傅里叶级数来表示，因此函数项级数对于产生更多的新函数起着非常关键的作用。 五、常微分方程学完了数学分析，就可以进入该鸟瞰图中的“常微分方程庭院”，来学习常微分方程这门课程了。常微分方程是含有自变量、未知函数及它的导数的等式。在历史上，很多涉及运动与演化的物理问题和技术问题的研究都可以化归为常微分方程的求解问题，这是因为反映自然规律的量与量之间函数关系往往不能直接写出来，而此时却比较容易建立这些变量与它们的导数之间的关系式。 常微分方程这门课程需要用到数学分析和线性代数中的一些基本知识。该课程包含的主要内容有：一阶常微分方程，线性微分方程，线性微分方程组、稳定性与定性理论初步等。在“常微分方程庭院”中，作者画了一幅典型的二阶微分方程组的相平面图，它用来表示该二阶微分方程组的稳定解的轨线是一组同心圆时的情形。 六、复变函数论离开了“常微分方程庭院”，它的旁边就是“函数论庭院”，日语中的“函数论”就是指复变函数论。在这里，作者画了一个关于复积分的围道积分图形，这个复积分的图形充分运用了柯西所发现的著名的柯西积分定理（全纯函数在单连通区域边界上的复积分一定为零），由此就可以推导出关于全纯函数性质的一系列基本结果和进行留数计算，因此围道积分图形是这门课程中非常典型的一个图形。 在传统的微积分理论中，所处理的函数主要是实函数，而当我们将微分与积分的理论平行地推广到复函数时，就形成了一门新的数学理论——复变函数论，这个新理论与原来的微积分理论相比，内容不仅更加丰富多彩，而且理论上也更加完美。数学史家M.克莱因曾经称复变函数论是19世纪的数学家们最独特的创造，他说“这一最丰饶的数学分支，曾被称为这个世纪的数学享受，它也曾被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一。”复变函数论这门课程的内容主要有：解析函数、复积分、复级数、留数、解析开拓、共形映射、解析开拓和调和函数等。现代数学的许多分支学科（如代数拓扑、黎曼曲面和代数几何等）的共同源头其实都是复变函数论。 七、点集拓扑在鸟瞰图里“函数论庭院”的右边，是高耸的“拓扑空间论城堡”，拓扑空间的理论属于点集拓扑的范围。目前大学点集拓扑课程的主要内容有：拓扑空间的基本概念、紧致性和连通性、商空间与闭曲面等。 在“拓扑空间论城堡”旁边的草地上，有一个白色的区域（代表拓扑空间），里面有六个点（即元素），它们分别在三个小圆圈内，现在因为某种需要，要将这三个小圆圈作为新的元素，由此就形成了一个新的集合，称为“商空间”。而通过将每个小圆圈里的各点之间建立一个等价关系（即重叠起来），就可以将这些小圆圈作为新的元素。在日语里，等价关系被称为“同值关系”。 八、实变函数论在“拓扑空间论城堡”的旁边，还有一个“测度论的广场”，其中有一个小姑娘在用砖块砌墙，这是在比喻求曲边梯形面积的两种方法。这里所说的“测度论”实际上就是指我们的实变函数论。作为数学分析课程的进一步深入和发展，实变函数论主要研究在连续性、可微性和可积性方面比较差的函数，该课程所包含的内容主要有：集合的运算、可测集类、可测函数及其性质、勒贝格积分等。 实变函数论课程的重点是勒贝格积分的理论。我们知道，数学分析中的黎曼积分只适用于基本上连续的函数，而从实变函数论的角度看，有界函数在上黎曼可积的充要条件是 在上的间断点集合的勒贝格测度为零。在分析学中，为了扩大可积函数类，改善积分的性质，就需要引入勒贝格积分，这种积分具有比黎曼积分更优良的性质，因此它的用处其实比黎曼积分更大，像调和分析和泛函分析等分支学科都需要建立在勒贝格积分理论的基础之上。 但是另一方面，在实变函数论课程中所进行的推理与证明又比数学分析中的推理更加精细和艰深，因此学生们学习与理解起来很可能会比较困难。例如在微积分中计算函数 在闭区间上的曲边梯形面积时，先将分成许多小区间，然后分别求出各个小区间上曲边梯形的近似面积，再将它们汇总求极限后，就得到上的曲边梯形面积的精确值，这是黎曼积分的想法。如果用砖头砌墙来作比喻，黎曼积分的想法相当于是： “ 而在实变函数论课程里，用勒贝格积分求这个曲边梯形面积的想法是：先把函数的值域（而不是）分成许多小区间，由此就能够将分为许多两两不相交的可测集，现在每个可测集上函数值都相差很少，于是在每个可测集上用任一点的函数值乘以可测集的“长度”（即测度），然后求和，再用和式的极限作为勒贝格积分的值，这个值同样也是曲边梯形面积的精确值。我们还是用砖头砌墙来作比喻，那么勒贝格积分的基本想法就相当于是用传统的方法来砌墙，即从地面开始，将整个墙体的下一层砖都砌好后，再砌上一层砖，这样逐步向上砌出来的墙体自然是十分稳固的。 九、泛函分析看完了“测度论的广场”，接下来应该马上进入位于它后面的“函数解析的高原”。日语里的“函数解析”就是我们所说的泛函分析。在20世纪中，泛函分析理论为各个分析学分支学科的迅速发展奠定了坚实的理论基础，这些学科就包括了偏微分方程、调和分析、数值分析、数学物理等。目前大学水平的泛函分析课程主要包含的内容有：距离空间和赋范空间、有界线性算子与连续线性泛函、希尔伯特空间几何学初步、有界线性算子的谱、广义函数等。 早期泛函分析的一个主要思想来源是经典的变分法。在变分法中，“泛函”就是指函数的函数。变分法的主要问题是：在一个函数集合中，求出使某个泛函达到极值的函数。此时，函数已经不是作为个别的对象来研究，而是作为函数集合（或函数空间）里的一个“点”，这样就可以运用几何学的思想来对整个一类函数的性质来加以研究。 泛函分析的另一个思想来源是积分方程，数学家们从积分方程的理论中发展出了希尔伯特空间和线性算子的理论。为了使积分方程理论普遍化，数学家巴拿赫进一步建立了比希尔伯特空间范围更广的巴拿赫空间（即完备赋范空间）的理论，巴拿赫空间包含了许多具体的函数空间，例如，闭区间 上全体 次幂勒贝格可积函数的集合 就可以构成一个巴拿赫空间（实变函数论的主要目的之一其实就是在为证明这一重要结论而作准备）。 十、微分几何与微分流形在“测度论的广场”右上方，有两个巨大的曲面建筑物，一个是“双曲面天棚”，它的外形运用了双叶双曲面的一部分，而这个双曲面可以通过让双曲线围绕着其实轴来产生。另一个光滑曲面建筑物没有给出曲面具体的名称，只是在曲面上写了“多样体”三个大字，如果将日语中的“多样体”译成中文，就是指流形，而流形的粗略定义是局部同胚于欧氏空间的拓扑空间，因此二维的流形就是在其每一点的邻近都与平面相差不大的曲面，这也是为什么作者要在这个“多样体”曲面上还画了两个平面坐标系的原因。这样，在流形的每一点处都有 “局部坐标系”。 如果在流形上再附加一个微分结构，那么该流形就成为了微分流形。微分流形是现代数学的基本研究对象，从上世纪60年代起，随着整体微分几何的兴起，微分流形的基本理论就开始进入大学数学课程的教学范围。目前微分流形这门课程所包含的基本内容有：欧氏空间上映射的微分与积分学、微分流形、微分形式和外微分、流形上的积分和Stokes公式、德拉姆上同调等。 在“双曲面天棚”和“多样体”曲面建筑物的后面，是一坐“微分几何学”大山。在微分几何这门课程里，主要的研究对象是三维几何空间中的光滑曲线和光滑曲面（即一维和二维的微分流形）。为了刻画曲线和曲面的几何形状和弯曲程度，数学家们引入了曲率的基本概念。微分几何这门课程的主要内容有：三维空间的曲线论、三维空间中曲面的局部几何性质、三维空间中曲面的整体几何性质、黎曼几何初步等。 十一、动力系统位于“微分几何学”大山旁边的是“力学系”大山，在它的前面还有一座“复素力学系”大山。日语中的“力学系”就是我们所说的动力系统，而“复素力学系”则是复动力系统。动力系统是经典的常微分方程解的定性理论的一种自然延伸和发展，由于大多数非线性常微分方程是不可能求出其解的具体表达式来的，因此就必须要在不具体解出方程的情况下，运用经典的李雅普诺夫理论来判断方程的解的稳定性（例如当时间趋于无穷时，解的变化状态），这个理论给出了包括奇点和极限圈在内的相平面（或相空间）中轨线的全局图貌及其性质。 进入20世纪后，人们逐渐从具体的常微分方程解的定性理论，转向了抽象的欧式空间或流形上的常微系统的研究（运用了拓扑学和测度论），着重考察了一族轨线之间的整体相互关系，从而形成了以结构稳定性理论为代表的一大批研究成果，其中就有数学家Smale在20世纪60年代所发现的具有无限多周期轨线的结构稳定的“马蹄”动力系统。 十二、偏微分方程在鸟瞰图中“力学系”大山背后的是“偏微分方程”大山。偏微分方程理论是现代数学中一个很重要的分支学科，它同时也是现代数学中许多分支学科和自然科学各个学科之间的一个桥梁。大学数学中的“偏微分方程”课有时也称为“数学物理方程”课。这门课程主要讲授三种典型的二阶偏微分方程（波动方程、热传导方程、调和方程）和一阶偏微分方程组的理论。 在大学数学系的各门课程中，偏微分方程似乎是一门比较难的课程，它可以简单地看成是常微分方程理论的进一步深化与拓广。可以这样说：微积分和数学分析课程中几乎所有的内容其实主要就是在为偏微分方程作准备的（当然也在为其他一些课程作准备），例如看上去比较奇怪的用三角函数级数来表示任意函数的傅里叶级数的理论，基本上就是为偏微分方程课程量身定做的，还有多元微积分中比较复杂的联系曲线积分与曲面积分的高斯公式（或散度定理），更是成为了研究偏微分方程解的性质的常用工具。 十三、概率论位于大学数学鸟瞰图左上角的是“确率论”大山，而日语中的“确率论”就是我们所说的概率论。概率论是研究各种随机现象数学规律的数学分支，它在自然科学、技术科学、社会科学中都有广泛的应用，概率论不仅影响了数学本身的一些分支学科的发展，它还是数理统计的理论基础。 目前大学概率论课程的主要内容有：随机事件和古典概型、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理。在概率论的学习过程中，比较困难的内容是随机变量的引入和各种统计量分布函数的推导。微积分正是通过连续随机变量这一重要途径而进入了统计学领域，从而在根本上改变了早期概率论只讨论古典概型的状况。由于在历史上概率论的各个基本概念和理论主要都是因为数理统计的需要而自然产生的，因此在学习概率论时，应该着重学习分布函数的思想方法，特别是要注意概率论的各个基本概念和理论是怎样实际运用到数理统计中的。 十四、数理统计在上述“确率论”大山的前面，还有一座山是“统计数学”大山，日语里的“统计数学”实际上就是我们所说的数理统计。数理统计的方法可以应用在自然科学和社会科学的各种专门领域中，例如人工智能、物理、化学、工程、生物、经济和社会学等。 在数理统计课程中，我们将学习怎样有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以便对所考察的问题作出统计推断和预测，从而为决策提供依据和建议。统计推断的具体方法包括了抽样、建立统计模型、估计相关分布函数的参数、假设检验、回归分析等。 图3：大学数学鸟瞰图的右边部分 十五、抽象代数与表示论我们通常所说的抽象代数课程，在日语中一般被称为“代数学”课程。在这幅大学数学鸟瞰图的右边部分，位于中间的四个小花园的内容都属于抽象代数，它们分别是“群的庭院”、“环的庭院”、“域的庭院”和“伽罗瓦理论的庭院”。群论、环论、域论以及伽罗瓦理论，再加上模论，这五大理论通常就构成了大学抽象代数课程的最基本的内容。 在“群的庭院”中，作者画了一个八面体，用以显示三维空间旋转群的一个子群──八面体群，另外还画了一个小伙子正在挥舞着一把写着“部分群”的斧子，日语中的“部分群”就是我们所说的子群。通过研究一个群的所有子群，我们对该群的整体结构可以有比较透彻的了解。 在“环的庭院”中，作者画了一个镶有珠宝的指环。在英文中，环与指环用的是同一个单词ring，所以指环在这里是代表数学中的环。在历史上，人们在研究数论（特别是证明费马大定理）的过程中，以戴德金为代表的一些数学家逐步建立了环的理想理论。 而在“域的庭院”里，作者只写了一个很简单的数学包含关系式，即 进数域 包含了它的 进整数环 （这个关系式有点类似于说有理数域 包含了它的整数环 ）。 进数域在代数数论中有基本的作用。 在“伽罗瓦理论的庭院”的旁边，作者还画了一个“伽罗瓦对应的天线”图，以此接收来自代数学方面的信号。群论和域论最早实际上起源于数学家伽罗瓦在研究一元代数方程的解是否有根式表示式问题时所作出的重要发现，这个经典问题是这样产生的：尽管一元二次方程解的求根公式表明它的解总是可以写成根式解的形式，但是一般的一元 次方程的解不一定能写成根式解的形式，因此在什么情况下有根式解就是一个很基本的问题。简单地来说，伽罗瓦先将代数方程是否有根式解的问题表示成了含有方程根的域的扩张问题，然后他发现可以进一步将复杂的域的扩张问题转化为比较简单的具有对称性的置换群结构问题，也就是域之间的扩张关系依次准确地对应了相关伽罗瓦群中子群的反序扩大关系，从而彻底解决了五次以上的代数方程何时有根式解的问题。在这个“伽罗瓦对应的天线”图中，左边的三个域之间的扩张关系（即从下到上地将 扩张到 ，再从 扩张到 ）依次对应了右边的三个子群的反序扩大关系（即从上到下地看，{1}是 的子群，而 又是的子群，其中的 是从 到 这个扩张的伽罗瓦群）。如果知道了一个代数方程的伽罗瓦群是可解群时（例如这里的 是 的正规子群时），那么这个代数方程就一定有根式解。 抽象代数课已经成为了大学数学中一门很重要的基础课程，这是因为在现代数学的各个分支学科中，或多或少都会有些代数结构，因此抽象代数就渗透到了数学的许多分支学科中，甚至还被运用到了物理学、计算机科学等学科中。 在鸟瞰图里和抽象代数有关的几个庭院的上方，我们看到有一朵“表现论的云”。日语中的“表现论”就是我们通常所说的表示论。表示论是抽象代数的一个分支，而群表示论又是其中最基本的内容。简单地来说，群表示论是把一个抽象的群与比较具体的矩阵联系起来，使得群中的运算对应到矩阵的乘法（此时称这种联系为群在有限维线性空间上的表示），这样就能够将群论中的问题转化为容易解决的线性代数问题。此外，群还可以表示在无限维线性空间上，这时就可以运用分析学的方法来解决群论的问题。 十六、数论在大学数学鸟瞰图的右边部分中，有一片“整数论的山脉”特别醒目。在日语中，“整数论”就是数论。在大学数学的数论课程里，除了初等数论外，还要学习一些代数数论和解析数论方面的最基本知识。 虽然初等数论在18世纪的时候就已经发展得相当完善了，但是经过高斯、库默尔、狄利克雷、黎曼、戴德金和希尔伯特等许多数学家们的努力，19世纪的数论就已经突破了初等数论的范围，而产生了代数数论和解析数论的基本理论。到了20世纪，数论与抽象代数、代数几何、多复变函数论、调和分析、表示论和自守形式等学科相互促进，发展成了蔚为大观的现代数论。在自身得到发展的同时，数论也促进了现代数学中许多分支学科的重要发展。现代数论包括了类域论、局部域理论、函数域理论、韦依定理、模形式理论、代数簇的算术理论、近代分圆域理论、费马大定理、朗兰兹纲领、以及Arakelov几何等理论。 十七、代数拓扑在鸟瞰图的右边部分的左上角，有一座“位相几何学”大山，“位相几何学”译成中文就是拓扑学。拓扑学主要研究的是在连续变形下，几何流形的不变性质，因此拓扑学是一种很抽象的几何学。拓扑学曾被数学家J. Dieudonné誉为是现代数学中的“女王”。这主要是因为拓扑学的思想方法已经渗透到了现代数学的各个分支学科中，无论是数论、抽象代数和代数几何，还是微分方程与几何分析，都运用了很多的拓扑学理论与方法，这主要是由于研究高维抽象几何空间整体问题的需要。 除了点集拓扑外，拓扑学的内容还包括了代数拓扑和微分拓扑，而在大学拓扑学课程中，代数拓扑往往占有主要的部分。在代数拓扑里，要以群论作为主要的工具来研究和刻画拓扑流形的几何不变量。代数拓扑课程的内容主要有：组合拓扑学的基本概念（如边缘、闭链和同调群）、欧拉-庞加莱公式、单纯同调与奇异同调、同伦与基本群、复叠空间、映射度与不动点等。 十八、代数几何在大学数学鸟瞰图右边部分的上方，是一大片雄伟的“代数几何连山”。代数几何所研究的主要对象是代数簇，即用一组多元多项式的零点集来确定的流形，其中一维和二维的代数簇分别被称为代数曲线和代数曲面。我们可以说在20世纪现代数学的发展过程中，代数几何所起的推动作用是非常大的，这主要是因为抽象代数、代数拓扑与微分拓扑、整体微分几何以及分析学中不少重要的理论都是因为研究代数几何的需要而提出的，并且代数几何的研究成果深刻影响了许多分支学科的发展。 代数几何最早起源于在17和18世纪牛顿和Bezout等数学家们关于平面代数曲线的研究工作。到了19世纪上半叶才开始出现关于代数曲线和代数曲面的初步理论。然后黎曼在研究阿贝尔积分理论的过程中，提出了内蕴的黎曼面概念和代数函数的理论，从而打开了通向现代代数几何的大门。在这之后，有一批数学家们分别用他们各自的语言进一步发展了这门不同寻常的学科，然而一直要等到20世纪的中叶，当整体微分几何、多复变函数论、抽象代数、以及拓扑学得到了充分的发展后，数学家格罗滕迪克才有可能用更精确的抽象代数语言与更先进的几何思想，将经典的代数簇理论推广成了适用面更广的“概形”理论，从而极大地促进了20世纪下半叶代数几何与现代数论的大发展。 十九、数理逻辑和数学基础在鸟瞰图右边部分的中间，有一个“数学基础论的庭院”，并且作者在其上方画了一朵“数理论理学的云”，日语中的“数理论理学”译成中文就是数理逻辑。数理逻辑也是现代数学的一门分支学科，它主要运用数学工具来研究形式逻辑的性质和结构，这门学科大致可以由模型论、证明论、集合论和递归论等内容所组成。数理逻辑与计算机科学有着极为密切的联系，在计算机科学的研究中包含着大量的数理逻辑问题。 二十、离散数学、信息科学和计算量理论位于大学数学鸟瞰图右边部分的下方，还有一大片“离散数学的草原”，其中画了一个正五边形和一幅国际象棋图。在这片草原的旁边，矗立着“情报科学”和“计算量理论”这两座大山，这里的“情报科学”就是我们通常所说的信息科学。 离散数学是研究离散结构性质的一门很大的数学分支学科，它的研究内容十分广泛，包括了排列、整数分拆、集合划分、偏序集、图论、拟阵、区组设计、编码、凸多胞形、计数组合学、拉姆齐理论、组合优化、几何组合学等多方面内容。在现代数学中，往往对应着不少研究连续性质的数学对象的分支学科，都有相应的离散数学对象的分支学科，例如有许多像“离散代数拓扑”和“组合交换代数”这样的交叉分支学科。 信息科学主要研究的范围是：在自然科学和社会科学的各个学科领域中，不同信息的取得、度量、存储、传递、分析、处理、利用和控制的普遍规律。具体而言，信息科学又可以分为香农信息论（用于编码）、维纳信息论（用于研究信号在噪声中的预测、滤波、检测及调制）和广义信息论（用于研究计算机科学、经济、社会、心理和生物中的信息处理）这三大部分。 计算量理论（又称计算复杂性理论）主要研究的问题有：计算的形式模型、有效性的量度、 问题、 完备性、证明的复杂性、随机化的计算、伪随机性、概率证明系统和密码学等，其中的“问题”是理论计算机领域里最大的未解难题，非常通俗地来说， 代表一组相对容易的问题，而 则代表看起来非常难的问题，因此 将意味着明显困难的问题其实有比较容易的解决方案。 图4：日本的大型书店里销售的大学数学教材 文稿|陈跃 编辑|朱善军 |
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