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【数学故事】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题． 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边P处饮马后，再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 【问题的历史背景】 这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：如图，将军每天从军营A出发先到河边饮马，再去同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它，展现了他的个人智慧。从此，这个被称为“将军饮马”的问题广为流传。 数学问题就是：在河边L上找一点P，使PA+PB的值最小。 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 “将军饮马”模型为一条定直线与两个定点，有以下四种情形：（点击可放大） 【图文解析】 观察动态演示： 解决问题：如图，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上取DA′=DA，连结A′B，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，走的路程就是最短的． 理由：如图，如果将军在河边的另外任一点C′饮马，所走的路程就是AC′+C′B，但是，AC'+C'B＝A'C'+C'B＞A'B＝A'C+CB＝AC+CB，即AC'+C'B＞AC+CB．可见，在点C以外任何一点C'饮马，所走的路程都要远一些． 【模型实例】 例1、动手操作：如图，在一张长8cm、宽4cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.小明同学的做法是：把矩形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，则得到的四形AECF就是菱形.在小明同学的折法中，设点P是折痕EF上的动点，点Q是直线CF上的动点，在P、Q运动过程中，求出PC+PQ的最小值. 图文解析 设AF=xcm，则AE=CE=xcm，BE=（8-x）cm，在Rt△ABE中，由勾股定理得 4²+（8-x）²=x²，解得x=5（cm），即AF=5cm 观察动态演示： 假设点Q是定点，连结PA，则PC=PA， PC+PQ=PA+PQ≥AQ， 当点P、A、Q三点共线时，PC+PQ=PA+PQ=AQ 当点Q也是动点时
只有当点P、Q运动到与点F重合时，PC+PQ取得最小值5cm
∴当点P、Q与点F重合时，PC＋PQ取得最小值5cm． 例2、如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则丨PA－PB丨的最大值等于
图文解析 观察动态演示：
【分析】延长AB交MN于点P′，此时P′A-P′B=AB，由三角形三边关系可知AB＞|PA-PB|，故当点P运动到P′点时|PA-PB|最大，作BE⊥AC于点E，由勾股定理即可求出AB的长． 【解析】
如图，延长AB交MN于点P′， ∵P′A-P′B=AB，AB＞|PA-PB|， ∴当点P运动到P′点时，|PA-PB|最大， ∵BD=5，CD=4，AC=8， 过点B作BE⊥AC，则BE=CD=4，AE=AC-BD=8-5=3， ∴|PA-PB|=5为最大． 故答案是：5. 【点评】本题考查的是线段差的最值问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答此类问题的关键． 【牛刀小试】 1．如图，正方形ABCD的面积是16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为 ？
2．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P为CD上的动点，则∣PA－PB∣的最大值是 ？ .
3．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，在射线OA上找一点Q，射线OB上找一点R，使得△PQR的周长最小，则最小周长是 ？ .
【答案】1、4 2、4 3、10 您的关注，我的动力！ |
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