二次函数中常用的求面积法

成才路上

      特级教师与奥数国家一级教练联手执教。

   求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，下面我们看看在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．

问题 

     在平面直角坐标系中，已知A(1,1)、B(7,3)、C(4,7)，求△ABC的面积．

【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：

构造矩形ADEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积．这是在“补”，

同样可以采用“割”：

此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离．

由题意得：AE+BF=6．

下求CD：

根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为：

由点C坐标（4,7）可得D点横坐标为4，

将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2，

故D点坐标为（4,2），CD=5,

方法总结

作以下定义：

（1）水平宽：A、B两点之间的水平距离；

（2）铅垂高：过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”．

如图可得：

【解题步骤】

（1）求A、B两点水平距离，即水平宽；

（2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C；

（3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；

（4）根据C、D坐标求得铅垂高；

（5）利用公式求得三角形面积．

中考真题

1   如图，已知抛物线y=ax²+bx+5经过A(-5,0)、B(-4,-3)两点，与x轴的另一个交点为C．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值．

【分析】

（1）y=x²+6x+5；

（2）取BC两点之间的水平距离为水平宽，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，则PQ即为铅垂高．

根据A、C两点坐标得AC=4，

根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=x+1，

设P点坐标为（m，m²+6m+5），

则点Q（m，m+1），

得PQ=-m²-5m-4，

考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大．

【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高．

    问题      拆解四边形

如何求一个普通的四边形的面积？

解法也很普通，连对角线分割为两个三角形即可求得面积．至于三角形面积则可用铅垂法．

中考真题

1   已知抛物线y=ax²+bx-4经过点A（2,0）、B（-4,0），与y轴交于点C．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；

【分析】

（1）y=0.5x²+x-4；

（2）此处四边形ABPC并非特殊四边形，所以可以考虑连接对角线将四边形拆为两个三角形求面积．

若连接AP，则△ABP和△APC均为动三角形，非最佳选择；

若连接BC，可得定△ABC和动△BPC，只要△BPC面积最大，四边形ABPC的面积便最大．

考虑A（2,0）、B（-4,0）、C（0，-4），

接下来求△BPC的面积，设P点坐标为（m，0.5m²+m-4），

连接BC，则直线BC的解析式为：y=-x-4

过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则Q点坐标为（m，-m-4），

当m=-2时，PQ取到最大值2，此时△BPC面积最大，四边形ABPC面积最大．

此时P点坐标为（-2，-4）．

已知抛物线y=ax²+1.5x+4的对称轴是直线x=3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；

（2）如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

【分析】

（1）抛物线解析式为

点A坐标为（-2,0），点B坐标为（8,0）．

（2）显然将四边形PBOC拆为△BOC和△PBC，点C坐标为（0,4），

设P点坐标为

根据B、C坐标可得BC的解析式为y=-0.5x+4

过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则Q点坐标为（m，-0.5m+4），

当m=4时，PQ取到最大值4，

故四边形PBOC的最大面积为32，此时P点坐标为（4,6）．

此题四边形已拆好，只要负责计算就可以了，而计算的内容，与三角形无异．

2   如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y=x²+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．

（1）求抛物线解析式及B点坐标；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

（3）如图2，若P点是半径为2的圆B上一动点，连接PA、PC，当点P运动到某一位置时，PC+1/2PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．

【分析】

（1）由题意得：A（1,0）、C（0,5），代入可解抛物线解析式为：y=x²-6x+5，点B坐标为（5,0）．

（2）显然四边形AMBC可拆为△ABC和△AMB，

显然，当M点在抛物线顶点时，△AMB面积最大，

此时M点坐标为（3，-4），

故四边形AMBC面积最大值为10+8=18，此时M点坐标为（3，-4）．

（3）之所以留下这个小问是因为前两个小问也太不够看了，而这个也差不多．

显然是个“阿氏圆”问题，构造1/2PA即可，参考阿氏圆解决方法，

取点D（4,0），连接PD，任意时刻，均有PD=1/2PA，问题易解．

来源|数学音符，以微课堂课后版