模型研究 | 对角互补模型大一统

证明：

(1)显然△AED，△DEF，△ECF，△BDF

都为等腰直角三角形，且全等，

则S△DEF+S△CEF

=1/2S△ABC；

(2)图2成立；图3不成立。

证明：

过点D作DM⊥AC,DN⊥BC,

则∠DME=∠DNF=∠MDN=90∘，

又∵∠C=90∘，

∴DM∥BC,DN∥AC，

∵D为AB边的中点，

∴DN=12AC,MD=12BC，

∵AC=BC，

∴MD=ND，

∵∠EDF=90∘，

∴∠MDE+∠EDN=90∘,

∠NDF+∠EDN=90∘，

∴∠MDE=∠NDF，

在△DME与△DNF中，

∵∠DME=∠DNF

MD=ND

∠MDE=∠NDF，

∴△DME≌△DNF(ASA)，

∴S△DME=S△DNF，

∴S四边形DMCN=S四边形DECF

=S△DEF+S△CEF，

由以上可知，

S四边形DMCN=1/2S△ABC，

图3不成立.

证明：连接DC，

△DEC≌△DBF(ASA)

∴S△DEF=S五边形DBFEC

=S△CFE+S△DBC

=S△CFE+1/2S△ABC，

∴S△DEF−S△CFE=1/2S△ABC.

故S△DEF、S△CEF、

S△ABC的关系是：

S△DEF−S△CEF=1/2S△ABC.

模型应用

已知:四边形ABCD，AB=AD，∠B=∠D=90°,∠EAF=30°,过F作FM∥BC交AE于M .

（1）当∠BAD=60°时(如图1所示)，求证︰BE+FD=FM；

（2）当∠BAD=90°时(如图2所示)，

则线段BE，DF,FM的数量关系为_______________；

（3）在（1）的条件下(如图3所示)，连接DB交AE于点G，交AF于点K，交MF于点N，若BG:DK=3:5，FM=14时，KN的长.

来源：向前数学（ID：xiangqianshuxue）