几何五大模型 一、五大模型简介 (1)等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等; 2、两个三角形高相等,面积之比等于底之比,如图①所示,S[sub]1[/sub]:S[sub]2[/sub]=a:b; 3、两个三角形底相等,面积在之比等于高之比,如图②所示,S[sub]1[/sub]:S[sub]2[/sub]=a:b; 4、在一组平行线之间的等积变形,如图③所示,S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub];反之,如果S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub], 则可知直线AB平行于CD。 例、如图,三角形ABC的面积是24,D、E、F分别是BC、AC、AD的中点,求三角形DEF的面积。 (2)鸟头(共角)定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫共角三角形; 2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图下图三角形ABC中,D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 则有:S[sub]△ABC[/sub]:S[sub]△ADE[/sub]=(AB×AC):(AD×AE) 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理! 如图连接BE,根据等积变化模型知,S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABE[/sub]=AD:AB、S[sub]△ABE[/sub]:S[sub]△CBE[/sub]=AE:CE,所以S[sub]△ABE[/sub]:S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]:(S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub])=AE:AC ,因此S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABC[/sub]=(S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABE[/sub])×(S[sub]△ABE[/sub]:S[sub]△ABC[/sub])=(AD:AB)×(AE:AC)。 例、如图在ΔABC中,D在BA的延长线上,E在AC上,且AB:AD=5:2,AE:EC=3:2, △ADE的面积为12平方厘米,求ΔABC的面积。 (3)蝴蝶模型 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) 例、如图,梯形ABCD,AB与CD平行,对角线AC、BD交于点O,已知△AOB、△BOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米,求梯形ABCD的面积。 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”): 例、如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3,且AO=2、DO=3,求CO的长度是DO长度的几倍。 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径,通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 (4)相似模型 1、相似三角形:形状相同,大小不相等的两个三角形相似; 2、寻找相似模型的大前提是平行线:平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相 交,所构成的三角形与原三角形相似。 3、相似三角形性质: ①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边)的比等于相似比; ②相似三角形周长的比等于相似比; ③相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类,注意这两大类中都含有BC平行DE这样的一对平行线! 例、如图,已知在平行四边形ABCD中,AB=16、AD=10、BE=4,那么FC的长度是多少? (5)燕尾模型 由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴,所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性质: S[sub]△ABG[/sub]:S[sub]△ACG[/sub]=S[sub]△BGE[/sub]:S[sub]△CGE[/sub]=BE:CE S[sub]△BGA[/sub]:S[sub]△BGC[/sub]=S[sub]△GAF[/sub]:S[sub]△GCF[/sub]=AF:CF S[sub]△AGC[/sub]:S[sub]△BGC[/sub]=S[sub]△AGD[/sub]:S[sub]△BGD[/sub]=AD:BD 例、如图,E、D分别在AC、BC上,且AE:EC=2:3,BD:DC=1:2,AD与BE交于点F,四边形DFEC的面积等于22平方厘米,求三角形ABC的面积。
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