小升初奥数：等积模型、鸟头定理、蝶形定理、相似模型、共边定理

而在小学奥数中，关于面积的计算，大多数都可以通过五大面积模型的转换完成。

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；即：S1:S2=a:b

③夹在一组平行线之间的等积变形。

即：如果直线AB和CD平行，那么三角形ACD的面积=三角形BCD的面积；换一个角度，如果三角形ACD的面积=三角形BCD的面积，那么直线AB和CD平行。

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比。

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如下图，在三角形ABC中，D,E分别是AB,AC上的点（图1）；或D在BA的延长线上，E在AC上（图2）。那么三角形ABC：三角形ADE=（ABXAC):(ADXAE)

三、蝶形定理

任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：

1、S1:S2=S4:S3或S1XS3=S2XS4；2、AO:OC=（S1+S2):(S3+S4)

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：

四、相似模型

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．

在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．

五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）

在三角形ABC中，AD,BE,CF相交与同一点O，那么三角形ABO：三角形ACO=BD：DC。

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为三角形ABO和三角形ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径。

六、典型例题解析：

例一、如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？

例二、长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G为各边中点，H为AD

边上任意一点，问阴影部分面积是多少？

例三、在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积。

例四、如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8，AD=15，四边形EFGO的面积为

例五、如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?