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小学数学涉及的几何问题中，一半模型是难点也是重点。所谓一半模型，是指在三角形、平行四边形、梯形和不规则四边形中，有一些图形的面积是原图的一半。在本文中，所有阴影部分的面积都是所在图形面积的一半。 01 先从最简单的三角形看起，常见的三角形一半模型只有一种：  如上图所示，在三角形ABC中，若D为BC的中点，则阴影部分面积是三角形ABC面积的一半。这个结论的证明非常简单，直接套用三角形面积公式即可，这里就不再赘述。 02 下面考虑平行四边形的情况，平行四边形的常用一半模型有5种，先看比较简单的前3种：  如上图所示，ABCD为平行四边形，则以BC为底边，以AD及其延长线上的任意一点为顶点，阴影部分三角形的面积都是平行四边形面积的一半。 平行四边形的另外两种一半模型不是非常直观：  如上图所示，ABCD为平行四边形，E是AB和CD所在直线之间的一个点，则三角形ABE和CDE的面积之和(即阴影部分)是平行四边形面积的一半。 这个结论的证明需要用到辅助线，过E做AB和CD的垂线，如果E到AB的距离是a,E到CD的距离是b，则三角形ABE的面积是AB*a/2,三角形CDE的面积是CD*b/2，注意到a+b 等于D到AB的距离，故平行四边形ABCD的面积是AB*(a+b)，所以关于一半的结论成立。 03 下面考虑梯形的情况，常用的梯形一半模型有3种：  如上图所示，阴影部分的面积都是梯形面积的一半，这3个图形揭示了3个结论。 结论一：梯形ABCD中，E是腰AB的中点，则三角形CDE的面积是梯形ABCD的一半。 这个结论的证明过程并不复杂，假设梯形的高是h，则三角形ADE的面积是AD*h/4,三角形BCE的面积是BC*h/4,二者的和是(AD+BC)*h/4,恰好是梯形面积的一半。由于梯形可以分割为3个三角形，因此三角形CDE的面积是梯形面积的一半。 结论二：梯形ABCD中，E是腰AB的中点，F是腰CD的中点，G是AD上的一点，H是BC上的一点，则四边形EHFG面积是梯形ABCD的一半。 这个结论的证明过程需要连接EF，分别考虑EFG和EFH的面积，假设梯形的高是h，则三角形EFG的面积是EF*h/4, 三角形EFH的面积是EF*h/4,二者之和是EF*h/2=(AD+BC)*h/4,恰好是梯形面积的一半。 结论三：梯形ABCD中，E是腰AB的中点，F是腰CD的中点，G是EF上的一点，则三角形ADG和BCG的面积之和是梯形ABCD的一半。 这个结论的证明过程也不复杂，只需分别求ADG和BCG的面积，假设梯形的高是h，则三角形ADG的面积是AD*h/4, 三角形BCG的面积是BC*h/4, 二者的和是(AD+BC)*h/4,恰好是梯形面积的一半。 04 下面考虑不规则四边形的情况，常用的不规则四边形一半模型有2种：  如上图所示，阴影部分的面积都是四边形面积的一半，这2个图形揭示了2个结论。 结论一：四边形ABCD中，E是AD的中点，F是BC的中点，则BEDF的面积是ABCD面积的一半。 这个结论的证明过程需要连接BD，则三角形BDE的面积是ABD的一半，三角形BDF的面积是BCD的一半，二者相加可得，BEDF的面积是ABCD面积的一半。 结论二：四边形ABCD中，E、F、G、H分别是4条边的中点，则EFGH的面积是ABCD面积的一半。 这个结论的证明过程需要连接AC和BD，根据E、F、G、H都是中点可得，三角形AEH的面积是ABD的1/4，三角形CFG的面积是CBD的1/4，二者相加可得，三角形AEH与CFG的面积之和是ABCD面积的1/4。类似可得，三角形BEF与DHG的面积之和是ABCD面积的1/4。由于四边形ABCD被分割为4个小三角形和中间的四边形，因此中间的四边形EFGH的面积是ABCD面积的一半。 以上就是常见图形的一半模型，精华就是上面的5张图片。为了做到熟能生巧，强烈建议您把这几张图片保存下来，打印出来让孩子经常看看。 |
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