透过高考看清双曲线的神秘之处

作者简介：叶老师，笔名“动人定理”，专职教师，数学学科研究员，目前担任机构数学教研组组长及学生学业规划师。曾供职合作于多家上市教育公司，对中高考数学考点有着深入认知与理解。拥有超过10000小时的高三毕业班学生一对一辅导经验。

导读

我们先来盘点一下全国卷近五年的双曲线高考题：

近五年全国卷双曲线高考题

从这些题中我们可以发现，双曲线在近五年的全国卷高考中总共出现六次，并且均以选择题形式出现。此外细心的同学可以发现双曲线与椭圆的考题几乎都会和其他的知识点串联在一起考察。因此叶老师认为：同学们在备考双曲线的题目时，也应该顺便去复习一下其他模块的知识点。好了，话不多说我们一起来深度剖析一下这些双曲线的高考题吧！

双曲线在高考中究竟神秘在哪里

对于这个问题，叶老师将通过这几道高考题的剖析与讲解向大家说明一下。

1.2014年新课标全国一卷双曲线选择题

分析：本题所给的双曲线方程不是标准方程，因此同学们在做这题时应该先将方程化为标准方程，这样才能更好地观察与求解。另外本题提到了双曲线的渐近线，因此同学们须想到在双曲线中焦点到渐近线的距离为b，也就是通径的概念，这样才能避免使用点到线的距离公式，才能降低计算的错误！

下面请看具体的解析过程：

小结：从本题中可以看出，双曲线在高考中的第一个神秘之处便是：焦点到渐近线的距离为通径，也就是b。如果能够记住这个概念的话，同学们就可以不用利用点到线的距离去辛苦计算了。

2.2015年新课标全国二卷双曲线选择题

分析：在做本题的时候，一定要根据条件画出合适的图形，并判断出只有可能|AB|=|BM|,此外要利用勾股定理求出M的坐标，并将其带入到双曲线方程中去，这样才能表示出a与b的关系，进而求得离心率。

下面请看具体的解析过程：

小结：从这道题中可以看出，双曲线在高考中的第二个神秘之处在于：双曲线会结合等腰三角形的性质以及勾股定理的应用并通过离心率的这个媒介表达出来。因此同学们在做此类题目的时候务必利用题目条件画出合适的图形，并注意特殊点的带入。

3.2016年全国二卷双曲线选择题

分析：观察到焦点三角形MF1F2为直角三角形，因此可将sin值用锐角三角函数的定义表示出来，进而得到MF1,MF2与焦距之间的关系，最后利用双曲线的定义表示出c与a的关系，求出离心率。

下面请看具体的解析过程：

小结：从这道题中可以看出，双曲线在高考中的第三个神秘之处在于：焦点三角形的运用。当考题中出现焦点三角形时，同学们务必结合双曲线的定义进行求解。

4.2016年全国一卷双曲线选择题

分析：本题只需利用双曲线a,b,c之间的关系并结合双曲线成立的条件进行运算即可。

下面请看具体解析过程：

小结：从这道题中可以看出：双曲线在高考中的第四个神秘之处在于：双曲线成立的条件。由于这块知识平常考察得较少，因此很容易被同学们所遗忘。所以希望同学们通过这道题能够复习其这个知识点。

5.2018年全国三卷双曲线选择题

分析：本题提到了双曲线的离心率为根号2，因此我们可以直接判断出此双曲线为等轴双曲线，这样我们可以马上求出双曲线渐近线的方程，进而利用点到线的距离公式求出结果。

下面请看具体解析过程：

小结：从这道题中可以看出，双曲线在高考中的第五个神秘之处在于：等轴双曲线的考察。因此同学们务必记清等轴双曲线的所有性质，这样解题才能迅速高效。

PS:（4,0）未必是焦点，因此这题不能够用通径的性质去求解。

6.2018年全国卷三双曲线选择题

分析：本题在一开始便得依照题意将图画好，并且利用通径以及焦距的性质，快速解出△OPF2,并迅速算出OP的长度，接着利用公共角POF2，列余弦定理以及锐角三角函数式，进一步求出c与a的关系，算出离心率。

下面请看具体解析过程：

小结：从这道题中可以看出，双曲线在高考中的第六个神秘之处在于：双曲线离心率结合余弦定理及三角函数的考察。其实同学们可以这样想，求离心率其实就是求c与a的关系，而由双曲线或者双曲线渐进线上的点所构成三角形的边正好可以用a,b,c表示，这样不是就是可以结合余弦定理和三角函数表示出c与a的关系了吗。

写在文末的话

从双曲线在高考中的六个神秘之处中，我们可以得出这样一个结论：双曲线与椭圆一样只不过是个考察平面几何知识的媒介而已，因此要想解好双曲线的题目，同学们不但要对双曲线定义、渐近线、离心率的性质了如指掌，而且还得对正余弦定理、三角函数以及直线方程的知识有深刻的理解才行！

最后希望大家都能在考试中发挥出应有的水平！