参考答案

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问：

参考例题

题目：

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题正确的是___(写出所有正确命题的序号).

①bacosC<1−cacosB；

②△ABC的面积为S△ABC=12AB−→−⋅AC−→−⋅tanA；

③若acosA=ccosC，则△ABC一定为等腰三角形；

④若A是△ABC中的最大角，则△ABC为钝角三角形的充要条件是−1<sinA+cosA<1；

⑤若A=π3,a=3√，则b的最大值为2.

考点：

[命题的真假判断与应用]

分析：

①利用正弦定理与两角和的正弦可得sin（B+C）=sinA<sinA，可判断①；
②当A=

π

2

时，tanA无意义可判断②；
③利用正弦定理与二倍角的正弦可判断③；
④若A为钝角，利用三角恒等变换可得-1<sinA+cosA<1，可判断④；
⑤利用正弦定理可得b=

asinB

sinA

≤

a

sinA

=

3

3 2

=2，可判断⑤．

解答：

对于①,在△ABC中,∵bacosC<1−cacosB，

∴bcosC+ccosB<a，

由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB<sinA,即sin(B+C)=sinA<sinA，故①错误；

对于②,当A=π2时，tanA无意义，故②错误；

对于③,若acosA=ccosC,则sin2A=sin2C,所以A=C或A+C=π2，

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故③错误；

对于④,若A为钝角,则A+π4∈(3π4,5π4)，

∴sin(A+π4)∈(−2√2,2√2)，

∴2√sin(A+π4)∈(−1,1)，

即(sinA+cosA)∈(−1,1)，

∴△ABC为钝角三角形的充要条件是−1<sinA+cosA<1，④正确；

对于⑤,若A=π3,a=3√,则由asinA=bsinB得：b=asinBsinA⩽asinA=3√3√2=2，

即b的最大值为2，故⑤正确。

故答案为：④⑤。