高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理

第7讲　正弦定理与余弦定理

 [学生用书P82]

1．正弦定理和余弦定理

定理	正弦定理	余弦定理
内容	＝＝＝2R (R为△ABC外接圆半径)	a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形形式	a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B， c＝2Rsin_C； sin A＝，sin B＝， sin C＝； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； ＝	cos A＝； cos B＝； cos C＝

2.三角形中常用的面积公式

(1)S＝ah(h表示边a上的高)；

(2)S＝bcsin A＝acsin_B＝absin C；

(3)S＝，其中p＝(a＋b＋c)．

1．辨明两个易误点

(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论．

(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．

2．余弦定理的推导过程

如图，设＝a，＝b，

＝c.

则c＝a－b，

所以|c|²＝(a－b)²

＝a²－2a·b＋b²

＝|a|²＋|b|²－2|a||b|cos C.

即c²＝a²＋b²－2abcos C.

同理可证a²＝b²＋c²－2bccos A.

b²＝c²＋a²－2cacos B.

3．三角形解的判断

	A为锐角			A为钝角或直角
图形
关系式	a＝bsin A	bsin A<a<b	a≥b	a>b
解的个数	一解	两解	一解	一解

1. 在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a等于(　　)

A．3　　　　　　　　          B．6

C．2                                     D．3

　B　[解析] 由正弦定理得＝，

所以a＝＝＝6.

2. 在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝(　　)

A．90°                                   B．120°

C．135°                                  D．150°

　B　[解析] cos B＝＝＝.

所以B＝60°，所以A＋C＝120°.

3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形(　　)

A．无解                                   B．有两解

C．有一解                                D．解的个数不确定

　B　[解析] 因为＝，

所以sin B＝·sin A＝×sin 45°

＝.

又因为a<b，所以B有两解．

4．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，若cos B＝，a＝10，△ABC的面积为42，则c＝________．

[解析] 依题意可得sin B＝，又S_△ABC＝acsin B＝42，则c＝14.

[答案] 14

5．(2016·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________．

[解析] 在△ABC中，∠A＝，

所以a²＝b²＋c²－2bccos，即a²＝b²＋c²＋bc.

因为a＝c，所以3c²＝b²＋c²＋bc，所以b²＋bc－2c²＝0，

所以(b＋2c)(b－c)＝0，所以b－c＝0，所以b＝c，所以＝1.

[答案] 1

　利用正、余弦定理解三角形(高频考点)[学生用书P83]

利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．

高考对正、余弦定理的考查有以下两个命题角度：

(1)由已知求边和角；

(2)解三角形与三角函数结合．

[典例引领]

　(1)(2016·高考全国卷丙)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　)

A.　　　　　　　　           B.

C．－                                 D．－

(2)(2016·高考全国卷甲)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．

【解析】　(1)设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得a＝csin ＝c，则a＝c.在△ABC中，由余弦定理可得b²＝a²＋c²－ac＝c²＋c²－3c²＝c²，则b＝c.由余弦定理，可得cos A＝＝＝－，故选C.

(2)因为 A，C为△ABC的内角，且cos A＝，cos C＝，

所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.

又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝＝×＝.

【答案】　(1)C　(2)

利用正、余弦定理解三角形的应用

(1)解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．　

[题点通关]

 角度一　由已知求边和角

1．(2017·兰州市实战考试)在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C的对边．若bsin A＝3csin B，a＝3，cos B＝，则b＝(　　)

A．14                                       B．6

C.                                       D.

　D　[解析] bsin A＝3csin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，所以b²＝a²＋c²－2accos B＝9＋1－2×3×1×＝6，b＝，故选D.

 角度二　解三角形与三角函数结合

2．(2017·河北省五校联盟质量检测)已知锐角△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a²＋b²＝6abcos C，且sin²C＝2sin Asin B.

(1)求角C的值；

(2)设函数f(x)＝sin－cos ωx(ω＞0)，且f(x)图象上相邻两最高点间的距离为π，求f(A)的取值范围．

[解] (1)因为a²＋b²＝6abcos C，由余弦定理知a²＋b²＝c²＋2abcos C，

所以cos C＝，又sin²C＝2sin Asin B，则由正弦定理得c²＝2ab，

所以cos C＝＝＝，又因为C∈(0，π)，

所以C＝.

(2)f(x)＝sin－cos ωx＝sin ωx－cos ωx＝sin，由已知可得＝π，所以ω＝2，则f(A)＝sin，

因为C＝，所以B＝－A，因为0＜A＜，0＜B＜，所以＜A＜，

所以0＜2A－＜，所以f(A)的取值范围是(0，]．

　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[学生用书P83]

[典例引领]

　(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)

A．直角三角形　　　　　　     B．锐角三角形

C．钝角三角形                         D．不确定

(2)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2c，则△ABC是(　　)

A．等边三角形                         B．锐角三角形

C．等腰直角三角形                  D．钝角三角形

【解析】　(1)由正弦定理得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin²A，则sin(B＋C)＝sin²A，由三角形内角和，得sin(B＋C)＝sin A＝sin²A，即sin A＝1，所以∠A＝.即△ABC为直角三角形．

(2)因为＋＝2c，所以由正弦定理可得＋＝2sin C，而＋≥2＝2，当且仅当sin A＝sin B时取等号，所以2sin C≥2，即sin C≥1.

又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以∠C＝90°.又因为sin A＝sin B，可得A＝B，故三角形为等腰直角三角形，故选C.

【答案】　(1)A　(2)C

若将本例(1)条件改为“2sin Acos B＝sin C”，试判断△ABC的形状．

[解] 法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形．

法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得

2a·＝c⇒a²＝b²⇒a＝b，

故△ABC为等腰三角形．

判断三角形形状的常用技巧

若已知条件中有边又有角，则

(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．　

[通关练习]

1．在△ABC中，已知2A＝B＋C，且a²＝bc，则△ABC的形状是(　　)

A．两直角边不等的直角三角形

B．顶角不等于90°或60°的等腰三角形

C．等边三角形

D．等腰直角三角形

　C　[解析] 由2A＝B＋C，知A＝60°.

又cos A＝，

所以＝，

所以b²＋c²－2bc＝0，即(b－c)²＝0，

所以b＝c.故△ABC为等边三角形．

2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.

(1)求角A的大小；

(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．

[解] (1)由题意知，

根据正弦定理得2a²＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，

即a²＝b²＋c²＋bc.(*)

由余弦定理得a²＝b²＋c²－2bccos A，

故cos A＝－，

所以A＝120°.

(2)由(*)得sin²A＝sin²B＋sin²C＋sin Bsin C.

又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝.

因为0°<B<90°，0°<C<90°，故B＝C.

所以△ABC是等腰钝角三角形．

　与三角形面积有关的问题[学生用书P84]

[典例引领]

　(2017·高考全国卷乙)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.

(1)求sin Bsin C；

(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．

【解】　(1)由题设得acsin B＝，即csin B＝.由正弦定理得sin Csin B＝.

故sin Bsin C＝.

(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，

即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.

由题设得bcsin A＝，即bc＝8.

由余弦定理得b²＋c²－bc＝9，即(b＋c)²－3bc＝9，得b＋c＝.

故△ABC的周长为3＋.

与三角形面积有关问题的解题策略

(1)求三角形的面积．对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．

(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．

(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．　

　(2017·重庆第一次适应性测试)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(B＋C)＝－sin 2A.

(1)求A；

(2)设a＝7，b＝5，求△ABC的面积．

[解] (1)由cos(B＋C)＝－sin 2A可得，

－cos A＝－sin 2A，

所以cos A＝×2sin Acos A，因为△ABC为锐角三角形，所以cos A≠0，故sin A＝，从而A＝.

(2)因为A＝，故cos A＝，由余弦定理可知，

a²＝b²＋c²－2bccos A，即49＝25＋c²－5c，

所以c²－5c－24＝0，

解得c＝－3(舍去)，c＝8，

所以△ABC的面积为bcsin A＝×5×8×＝10.

 [学生用书P85])

——正、余弦定理的应用

　(本题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b²－a²＝c².

(1)求tan C的值；

(2)若△ABC的面积为3，求b的值．

[思维导图]

(1)　

(2)

(1)由b²－a²＝c²及正弦定理得

sin²B－＝sin²C，

所以－cos 2B＝sin²C.(3分)

又由A＝，即B＋C＝π，得

－cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C，

解得tan C＝2.(6分)

(2)由tan C＝2，C∈(0，π)，得

sin C＝，cos C＝.(8分)

因为sin B＝sin(A＋C)＝sin，

所以sin B＝.(9分)

由正弦定理得c＝，(10分)

又因为A＝，bcsin A＝3，

所以bc＝6，(11分)

故b＝3.(12分)

　(1)本题是解三角形与三角恒等变换的结合，求解中首先利用正弦定理把边的关系转化为三角函数关系，再利用恒等变换，再次应用正弦定理，求解所求问题．

(2)计算准确，争取得满分

①公式运用要准确，这是计算正确的前提．

②算数要准确无误，尤其注意正、负号的选择，计算时要尽量利用学过的公式简化计算过程．

 [学生用书P280(独立成册)]

1．(2017·兰州市实战考试)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b²＝ac，c＝2a，则cos C＝(　　)

A.　　　　　　　　　　　    B．－

C.                                           D．－

　B　[解析] 由题意得，b²＝ac＝2a²，b＝a，所以cos C＝＝＝－，故选B.

2．(2017·重庆适应性测试(二))在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a²＋b²－c²＝ab＝，则△ABC的面积为(　　)

A.                                         B.

C.                                         D.

　B　[解析] 依题意得cos C＝＝，C＝60°.因此，△ABC的面积等于absin C＝××＝，选B.

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC为(　　)

A．钝角三角形                         B．直角三角形

C．锐角三角形                         D．等边三角形

　A　[解析] 已知＜cos A，由正弦定理，得＜cos A，即sin C＜sin Bcos A，所以sin(A＋B)＜sin Bcos A，即sin B·cos A＋cos Bsin A－sin Bcos A＜0，所以cos Bsin A＜0.又sin A＞0，于是有cos B＜0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．

4．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则的值为(　　)

A．1                                         B．2

C．3                                         D．4

　A　[解析] 由正弦定理得＝，由余弦定理得cos A＝，因为 a＝4，b＝5，c＝6，

所以＝＝2··cos A＝2××＝1.

5．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsin A－acos B＝0，且b²＝ac，则的值为(　　)

A.                                         B.

C．2                                         D．4

　C　[解析] 在△ABC中，由bsin A－acos B＝0，

利用正弦定理得sin Bsin A－sin Acos B＝0，

所以tan B＝，故B＝.

由余弦定理得b²＝a²＋c²－2ac·cos B＝a²＋c²－ac，

即b²＝(a＋c)²－3ac，

又b²＝ac，所以4b²＝(a＋c)²，求得＝2.

6．(2017·哈尔滨一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝1，a＝2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为(　　)

A.                                         B.

C.                                       D.

　B　[解析] 当C取最大值时，cos C最小，

由cos C＝＝＝≥，

当且仅当c＝时取等号，

且此时sin C＝，

所以当C取最大值时，

△ABC的面积为absin C＝×2c×1×＝.

7．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝，则三角形外接圆的半径为________．

[解析] 由面积公式，得S＝bcsin A，代入得c＝2，由余弦定理得a²＝b²＋c²－2bccos A＝2²＋2²－2×2×2cos 120°＝12，故a＝2，由正弦定理，得2R＝＝，解得R＝2.

[答案] 2

8．(2017·高考浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．

[解析] 在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，则

sin∠ABC＝sin∠CBD＝，所以S_△BDC＝BD·BCsin∠CBD＝.因为BD＝BC＝2，所以∠CDB＝

∠ABC，则cos∠CDB＝ ＝.

[答案] 　

9．(2017·贵阳市监测考试)在△ABC中，内角A、B、C所对边分别是a、b、c，若sin²＝，则△ABC的形状一定是________．

[解析] 由题意，得＝，即cos B＝，又由余弦定理，得＝，整理，得a²＋b²＝c²，所以△ABC为直角三角形．

[答案] 直角三角形

10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列，且a＝2c，则cos A＝________．

[解析] 因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A＋sin C.

因为＝＝，

所以a＋c＝2b，

又a＝2c，可得b＝c，

所以cos A＝＝＝－.

[答案] －

11．(2016·高考天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin 2B＝bsin A.

(1)求B；

(2)若cos A＝，求sin C的值．

[解] (1)在△ABC中，由＝，

可得asin B＝bsin A.

又由asin 2B＝bsin A，得

2asin Bcos B＝bsin A＝asin B，

所以cos B＝，所以B＝.

(2)由cos A＝，可得sin A＝，则

sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin＝sin A＋cos A＝.

12．(2017·河南省八市重点高中质量检测)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2asin A＝(2sin B－sin C)b＋(2sin C－sin B)c.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．

[解] (1)由已知及正弦定理可得2a²＝(2b－c)b＋(2c－b)c，

整理得b²＋c²－a²＝bc，

所以cos A＝.

又A∈(0，π)，故A＝.

(2)由正弦定理＝，a＝2，b＝2，A＝，得sin B＝.

又B∈，故B＝或.

若B＝，则C＝，于是S_△ABC＝ab＝2；

若B＝，则C＝，于是S_△ABC＝absin C＝.

13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，则c的最小值为(　　)

A．2                                         B．3

C．2                                     D．2

　B　[解析] 由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c²＝b²－2b＋12＝(b－)²＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝时，c取最小值3.

14．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2asin B＝b，b＝2，c＝3，AD是内角的平分线，则BD＝________．

[解析] 由2asin B＝b及正弦定理得

2sin∠BAC·sin B＝sin B，所以sin∠BAC＝.

因为∠BAC为锐角，所以∠BAC＝.

因为AD是内角平分线，

所以＝＝＝.

由余弦定理得BC²＝AC²＋AB²－2AC·AB·cos∠BAC＝4＋9－2×2×3×＝7，

所以BC＝，BD＝.

[答案]

15．(2017·武汉市调研测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＋＝4cos C，b＝1.

(1)若A＝90°，求△ABC的面积；

(2)若△ABC的面积为，求a，c.

[解] (1)因为b＝1，所以a＋＝4cos C＝4×＝，

所以2c²＝a²＋1.

又A＝90°，所以a²＝b²＋c²＝c²＋1，

所以2c²＝a²＋1＝c²＋2，所以c＝，a＝，

所以S_△ABC＝bcsin A＝bc＝×1×＝.

(2)因为S_△ABC＝absin C＝asin C＝，

所以sin C＝，

因为a＋＝4cos C，sin C＝，

所以＋＝1，化简得(a²－7)²＝0，

所以a＝，从而c＝2.

16．(2017·高考全国卷丙)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.

(1)求c；

(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

[解] (1)由已知可得tan A＝－，

所以A＝.

在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c²－4ccos，即c²＋2c－24＝0.

解得c＝－6(舍去)，c＝4.

(2)由题设可得∠CAD＝，

所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.

故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1.

又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，所以△ABD的面积为.