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孙子曰：“夫用兵之法，全国为上，破国次之；全军为上，破军次之；全旅为上，破旅次之；全卒为上，破卒次之；全伍为上，破伍次之。是故百战百胜,非善之善者也。” 立体几何是高考数学传统的主体内容, 立体几何的最值问题是当前高考命题的一个热点。命题者特别关注空间几何中的最值与函数、不等式、平面几何、三角函数等知识的联系，使得有些题目看起来偏难。 本文整理了历年高考题和模拟题，从中提炼出立体几何最值问题的五个策略，应用相应策略，可以解决所有立体几何中最值问题。 策略一：构造函数求最值解题关键：恰当引入参变量，准确地建立目标函数，借助于函数的思想和方法, 然后根据表达式的结构特征用代数知识求最值。常见的有：二次函数，对勾函数，导函数。 1、在四面体ABCD内部有一点O，满足OA＝OB＝OC＝4，OD＝1，则四面体ABCD体积的最大值为 ． 【分析】由定、动结合可得，要使四面体ABCD体积最大，需OD⊥平面ABC，设O在平面ABC上的投影为G，且OG＝x，求出三角形ABC的外接圆的半径，得到三角形ABC面积的最大值，代入体积公式，结合导数求得答案．          策略二：利用均值不等式求最值解题关键：构建两个变量的等式，应用均值不等式求出最值  【分析】将该线段放于长方体的体对角线，则它的三视图分别是长方体三个面的对角线，构建长方体的长宽高和体对角线之间的方程，利用均值不等式可求出最大值！  策略三：构建三角函数解题关键：找到合适的角作为变量，用三角函数表示长度，可以帮助我们将题中的数量关系转化为代数式（三角函数式），进而求得最值！ 【分析】题目中只给出了一个定值，显然不能直接计算面积的最值，而分析题中所给的条件，有垂直关系，这样就存在直角三角形，给三角函数的运用创造了条件。 【分析】利用AB与投影面α所成角为θ，∠BAC＝120°，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAD＝θ，建立正视图的面积为m和侧视图的面积为n的关系，利用30°≤θ≤60°求解mn的最大值． 策略四：立体图形展开为平面解题关键：将空间图形展开，把立体几何问题转化为平面几何问题，一般用于求选择路径问题，几何中的最值问题等。 应用此法可化折为直、化曲为直。一定要重视图形翻折前后的对比,，以及空间图形的棱、侧棱、母线等分别是平面图形中的哪些量, 从而进行计算。 【分析】将三棱锥的侧面展开，从A点虫子爬行绕三棱锥侧面一圈回到点A的距离中，虫子爬行的最短距离，可转化为求AA1的长度，利用勾股定理即可得到答案． 【分析】由题意，利用侧面展开图，则顶角为60°，利用正三角形可得蚂蚁爬行的最短路程． 【解答】解：由题意，利用侧面展开图两次，则顶角为60°，三角形是正三角形， 可得蚂蚁爬行的最短路程为：2． 故答案为：2 【分析】连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，不难看出CP+PA1的最小值是A1C的连线．（在BC1上取一点与A1C构成三角形，因为三角形两边和大于第三边）由余弦定理即可求解． 策略五：建坐标系，空间向量求解解题关键：向量的相关知识是高中数学中重要的解题方法，对于立体图形中线段可以变成相应的数量之间的运算关系，并且运用向量还可以表示空间中直线的位置关系，掌握向量在立体几何解决最值问题有着很大的帮助。 【分析】（I）连接AD，DE，AE，可证AD⊥PQ，DE⊥PQ，从而可证PQ⊥平面ADE． （II）设AD＝x，得到d²关于x的二次函数从而可得d何时最小并能求得此时四棱锥A﹣PBCQ的体积． |
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