数字信号处理DSP基本原理之一:采样时间信号的频谱具有周期性,且周期与采样率相等。 这个结论可以帮助我们在大脑中构建这样的一幅图像:
教科书中关于这个结论的推导很多,但是我们今天换一个角度来看待这个问题: 利用离散傅里叶变换DFT演示这个原理图1 离散傅里叶级数,截取一个周期变成DFT 现在给出有限长序列离散傅里叶变换的定义。设有限长序列x(n)长度为N(在0≤n≤N-1范围内),它的离散傅里叶变换X(k)仍然是一个长度为N(在0≤k≤N-1范围内)的频域有限长序列。 准确的说是离散X(k)是时间序列x(n)的离散频率谱。
图1中只选择看一个周期(主值序列),就是离散傅里叶变换DFT。 我们可以发现,时间和频率关系如下:
其中,Ts是采样时间间隔(以秒为单位),fs=1/Ts为采样频率(以Hz为单位)。且T1/Ts=N; 当n的范围为0到N-1时,k的范围取决于我们要计算X(k)的频率范围。例如,如果我们让k=0到N-1,等式③产生f=0到fs(N-1)/N的频率范围,这是DFT通常范围。 下面,我们将在k=-2N到2N-1的更宽范围内评估X(k),这给出了f=-2fs到fs(2n-1)/N的频率范围。 假设一个长度为32的实值时间序列图1 DFT幅值图 图2显示了时间序列x(n)、对应的DFT幅度值和db-幅值。 如图2所示,频谱是周期性的,周期为fs。 关于频谱的周期性,我们直接可以在DFT的方程中找到答案。 方程中存在一个复指数函数e,我们可以把它理解成: 将一个圆(2π)等分成N份,即2π/N,然后取第k个值,即2πk/N。 然后再计算。 每计算一圈(2π),再开始重复。 所以必然计算的结果是周期的,而且周期为N。 如图3所示。最上面的图显示了我们的计算结果DFT变换X(k)。 图3中间显示了,k=0到N-1的范围内的X(k); 图3底部的图只显示k=-N/2到N/2-1的样本,这是一个同样有效的范围。 图3 放大看DFT 让我们看一下在k=-N/2到N/2-1上计算的DFT。 图4显示了DFT的实数部分、虚部和幅值。 图4说明了DFT的另一个属性: 对于实数序列x(n),DFT具有一个偶函数的实数部分和一个奇函数的虚部。 该属性对于k=0到N-1计算的DFT也是保留的,但在这种情况下,偶数和奇数是根据fs/2 Hz定义的,而不是0 Hz。 图4 从上到下依次为实数部分、虚数部分和幅值 |
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