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文字简明扼要，语音更加详细生动哦。 继续上一篇，本文对离散信号的频域分析，分为5节。本文对第3节——离散傅里叶变换DFT（Discrete- Fourier Transform）中的第4个问题：DFT性质中的前两个进行总结。 3.4 DFT的性质 以下四个性质，本文对前两个性质——圆周移位、圆周卷积进行讲解。 1、圆周移位（循环移位） 首先看，为什么要定义一种新的移位？这种新的移位为什么称为“圆周移位”？它与普通的移位有何异同？见下图。 可见，圆周移位与普通移位的区别在于：多一个周期延拓、再取主值区间的过程。定义式如下： 圆周移位的步骤：先周期延拓、再移位、最后取主值区间；或者先移位、再周期延拓、最后取主值区间。前两步谁先谁后都可以。见下图。 可见，这种新的移位，相当于先把序列放在一个圆上，然后转圈圈：左移，沿顺时针方向转（即上图中的情况）；右移，沿逆时针方向转。 与其他傅里叶变换一样，DFT依然满足：时域移位，频域线性相移；频域移位，时域调制。需要注意的是，这里的移位，都指的是圆周移位。 2、圆周卷积（循环卷积） （1）圆周卷积的定义 仿照上面我们对移位操作做的改进——增加了“周期延拓、取主值区间”的过程，将“移位”改造成“圆周移位”一样，我们也对之前很熟悉的卷积和公式做改进，就得到一种新的卷积”圆周卷积“（或称为循环卷积）的定义。如下图。 为了区分，大家在《信号与系统》中所学习的卷积和，称为”线性卷积“。 显然易见，圆周卷积的结果与N有关。 （2）DFT的圆周卷积定理 在圆周卷积的定义下，DFT依然满足”一个域卷积，另外一个域相乘“这一更古不变的关系。 （3）圆周卷积的计算 下面重点来看圆周卷积的计算。 圆周卷积计算过程： step1：周期延拓； step2：翻转，取主值序列； step3：圆周移位（向右）； step4：相乘相加。 上述例题的最终结果为：
（4）圆周卷积与线性卷积的关系 上面的例题中，两个序列的线性卷积是多少呢？圆周卷积与之相同吗？为什么？ 线性卷积，是直接将序列2反转、平移，而没有”周期延拓、再取主值“这两步。可以用图解法或者竖式法得到（信号与系统中已学，此处直接给出结果），线性卷积的结果如下：
两种卷积为何不同呢？又有何关系呢？ 下图从公式上推导圆周卷积与线性卷积的关系
相比于推导过程，以下结论更为重要：
根据以上结论，我们可以根据线性卷积的结果，直接得到N点圆周卷积的结果。如下图：
（未完待续，下一篇：DFT性质中的”共轭对称性“和”Parseval定理“，以及3.5频域抽样） |
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