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著名数学家、哲学家怀特海曾提出“数学是模式的科学”的观点，认为“数学的本质特征就是在模式化的个体抽象的过程中对模式进行研究。”[1]正因为数学的研究对象，即概念和命题，都具有超越特殊对象的普遍意义，因此它们都是一种“模式”[2]。事实上，“模式”的概念不仅适用于数学的概念和命题，也适用于数学问题。学生在进行数学学习时，认知结构中的问题模式大都来源于教科书，能否将教科书中隐含的问题模式向学生进行渗透，是学生形成丰富问题模式的关键。北京师范大学出版社出版的初中《数学》教科书编排体系呈螺旋上升式结构，常将核心知识与重要思想方法研究依托于经典“模式问题”在不同章节反复出现。例如七年级上册将“两点之间，线段最短”这一基本事实依托于“将军饮马”问题模式中出现；七年级下册将轴对称知识与“两点之间，线段最短”共同依托于“将军饮马”模式中出现；八年级下册又将平移、轴对称、“两点之间，线段最短”再次依托于“将军饮马”模式中。像这种将相同的“模式”嵌入不同知识背景中的现象，在北师版初中数学教科书中绝非偶然现象，事实上是一种常见形式。研究以北师版(2014年版)九年级上册第四章“图形的相似”为例，分类统计教科书中所隐含的相似三角形的判定与性质的“模式问题”，分析这些模式在教科书中的呈现特点，并从典型的中考试题中分析其在教材中的模式背景。建议教师在使用教科书时，应注重挖掘教科书中呈现的模式问题，并在问题教学中注意这些模式的呈现方式，渗透“模式问题”思想。 一、相似三角形中的模式问题1.相似三角形中的模式问题分类(1)“A型”模式。“A型”模式指的是两个相似三角形中有一个角重合的模型，其形状像一个字母“A”，故常被称为“A型图”。因为两个三角形重合的角所对的边有两种位置关系：平行和相交，所以“A型”模式又可分为“平行式”(如图1)和“不平行式”(如图2)，在不平行式中一般应有∠ADE=∠C。  图1  图2  图3  图4 (2)“A型”平移模式。“A型”平移模式指将A型模式中公共角所对的边进行平移，使得两个三角形有两个顶点重合(如图3)。当顶点重合的两个角中，有一个角为直角时，此时该模型中有三个直角三角形，容易证明此时三个直角三角形两两相似，因此该模型又称为“母子型”(如图4)。 (3)“X型”模式。“X型”模式是指两个相似三角形中，有一组角互为对顶角的模型(如图5)，其形状像一个字母“X”，故常被称为“X型图”。因为两个三角形的第三边有两种位置关系：平行和相交，所以“X型”模式也可分为“平行式”(如图5)和“不平行式”(如图6)，在不平行式中一般有∠ABE=∠C。 水资源是一切生物赖以生存的必然物质。一些施工单位为了节省成本，往往在资材优劣、多寡上做文章，殊不知给工程质量和后期养护带来忧患和不便。据我们多年来的实践和调查显示，岩石边坡的生态恢复工程中，6-40g/m2施用的保水材料和黏结剂，成本0.2-1.2元，较没有施用的出苗率高14%-60%，无垮塌，植物生长发育良好，第一年养护最多浇水3遍（如内蒙、贵州等环境恶劣地区），第二年基本不用管理，养护成本较对照节省19%-43%.相反，在调查的17家在施工时没有添加保水和粘结材料的单位了解到，因为水土流失造成坍塌返工的9家，占53%；因为干旱浇灌不及时出苗不匀修补的13家，占76%. (4)“K型”模式。“K型”模式是指两个相似三角形中，有一组边在同一直线上(如图7)，此时应有∠A=∠C=∠DBE。其形状像一个字母“K”，故常被称为“K型图”。当∠A=∠C=∠DBE=90°时，该模式又称为“直角K型图”(如图8)。 应理论联系实际，偏重应用 现代教育技术作为师范生的职前教育课程和教师的职后教育课程，应该更加注重实践应用，弱化理论深度，积极吸纳本科教学实践经验；还应保持与有经验一线教师的联系，掌握各学科的发展情况，有助于教材的完善和实用性的规划。  图5  图6  图7  图8 2.教科书中的模式问题统计教科书第四章中相似三角形判定与性质包含的例题总数为6道，练习题总数为7道，习题总数为29道，复习题总数为23道，总计65道。从这65道题中分别统计上述类型模式问题数量如表1所示。 (4) 微电网运营相对困难。微电网的能量平衡依赖于大电网,若没有大电网作为支持,其经济性和可靠性无法保证;同时运行也难以取得规模效应。 表1 教科书中相似三角形模式问题数量统计 道  “模式问题类别”例题数量练习题数量习题数量复习题数量总数量A型(平行)313714A型(不平行)10729X型(平行)00336X型(不平行)00000K型(一般)00000K型(直角)00011总计41131331  图9 教科书中相似三角形模式问题占比统计 从表1可以看出，“X型”模式中没有“不平行式”，“K型”模式中仅有“直角K型图”，且数量仅为1道，出现次数最多的是“A型”模式，共25道，“X型”模式次之。为了分别体现相似三角形中的模式问题占总题数的比例，接着分析各种问题模式占总题数的比例(如图9所示)。 根据图9可以发现，教科书中相似三角形模式问题总占比较大，具体为47%。其中，“A型”模式占比最大，为36%；“X型”模式次之，占比为9%；“K型”模式最小，占比仅为2%。 3.问题模式呈现方式分析(1)教学内容呈现方式。教科书对“图形的相似”这一章的内容安排为：首先让学生通过合情推理发现平行线分线段成比例这一基本事实，接着学习相似图形与相似多边形；再从一般到特殊，学习相似三角形的条件、性质与应用。其中，相似三角形的条件部分，依然是先让学生运用合情推理猜想归纳出相似三角形的判定方法，用三个课时分别学习两角分别相等、两边成比例及夹角相等、三边成比例三种判定方法。之后将三角形相似的判定定理的证明单独作为一节，让学生在前面已有学习经验的基础上，用演绎推理对定理进行严格证明。教科书这样对内容呈现螺旋式安排，显然是基于学生的认知特点考虑，注重学生运用合情推理发现命题、运用演绎推理证明命题的思想。基于这样的内容主线，对其中模式问题的呈现方式进行研究分析，思考教科书编写意图。 (2)模式问题的呈现方式。教科书中在探究三角形相似部分，通过合情推理得出三角形相似的判定定理后，应用定理解决例题中“A型”模式中的平行式问题，引出习题中“X型”模式、“A型”平移模式问题；应用定理解决例题中“A型”模式中不平行式问题，引出习题中“A型”模式中的平行式问题、“A型”平移模式。在三角形相似判定定理证明部分，用“A型”模式中的平行式问题进行证明，引出习题中的“A型”平行模式、“A型”不平行模式、“A型”平移模式。在相似三角形性质部分，应用性质定理解决例题中“A型”平行模式，引出习题中“A型”不平行模式、“A型”平移模式。在总复习中除了呈现前面提到的模式外，在联系拓广部分单独列出“K型”垂直模式(如图10所示)。  图10 (3)呈现意图。一是教科书选择以“A型”模式作为三角形相似条件判定的引入，是从学生的已有认知出发。学生在前面学习平行线分线段成比例这一基本事实时，就接触大量的“A型”模式，对该模式较为熟悉。而且在学习平行线分线段成比例时，教科书习题部分就呈现了一个可以用来证明三角形相似判定定理的模型，学生就已经有了一定的心理认知，为后面的证明学习奠定了认知基础。当然，从证明的角度来讲，“X型”模式也可以作为建构证明思路的模型，因此教师在教学过程中也可将此模型进行变式教学。二是教科书每节内容中的模式呈现，总是体现从直观到抽象、从简单到复杂的原则，并且将模式问题进行交叉、反复呈现。通过这种方式反复刺激学习者大脑，学生在不断建立新旧知识的联系中，促进对材料的瞬时记忆到短时记忆再到长期记忆的转化，有利于知识的储存。三是教科书将“K型”模式在复习题中呈现，是因为该模式相对前面几种模式稍难，具有一定的综合性，涉及数学转化、分类讨论等数学思想。但该模式又是本章解决数学问题的重要模式，曾多次在中考压轴题中呈现，因此将其放在复习题中的联系拓广部分，以提升学生数学综合能力。 二、以模式问题为背景的中考试题例举中考作为学生学业评价的主要手段，对教学起着关键性的导向作用。中考试题从知识内容上主要基于课标和教材[3]，从题型方法上常常基于教材的重要模式问题，以模式问题为依托、以知识为载体，考查学生对数学思想方法的领会及应用程度。下面试举两例。 例1 (2016年贵阳中考)如图11，菱形OBCD的边OB在x轴上，反比例函数 (1)求反比例函数表达式；(2)求点F的坐标。 【评析】该试题的(2)小题中，学生根据A点坐标容易想到求出C点坐标，于是，要求得F点坐标，就应该先求出点B坐标。如何求得点B坐标，是该题的一个难点，学生如果缺乏模式思想，就很难想到求B点坐标的方法。借助模式思想，若过点A作x轴的垂线AM(如图12)，从中抽象出相似三角形模式问题中的“母子型”。根据该模式的解题经验，知道“母子型”中任意两条线段的长，均可求出其他线段的长，那么求B点坐标的方法就很容易想到了。 创新旅游开发和经营管理模式。全面梳理整合涠洲岛现有的三个国有旅游资产经营公司、旅游发展公司、旅游投资开发公司的融资、建设、经营等功能，发挥平台公司的作用，创新融资渠道，进一步做大融资平台。探索设立涠洲岛旅游产业基金。控制商铺过度发展。加强旅游环境的综合治理。充分发挥政府部门监督和社会监督的作用，加大旅游市场的监管力度，形成联查联动机制。加强食药监、工商、公安等执法部门的执法检查。建议自治区尽快研究批复设立涠洲岛公安分局事项，并根据涠洲岛分局承担的任务核定其编制数。 图11 图12 图13 例2 (2017年攀枝花中考)如图13，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD=2，DB=4，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE∶CF=________。 【评析】该问题中，根据折叠的特点易得CE=ED，CF=DF，进而将CE∶CF转化为ED∶DF，然而到此依然难以发现该比例与AD=2和DB=4的关系。然而，若学生认知结构中对相似三角形中的“K型”模式熟悉，就会敏锐发现，该问题中实际上可以抽象出一个“K型”模式中的一般型，因为图中显然有∠A=∠EDF=∠B=60°，于是易得ΔADE∽ΔBFD，它们的相似比等于周长之比，进而可以得到ED∶DF=(6+2)∶(6+4)=4∶5。 文章的标题“柏拉图的真之学说”很容易让人觉得海德格尔要对柏拉图那里的“真”做一番系统的研究。但是海德格尔一开始就区分了“科学的知识”和“思想家的学说”： 三、教学启示基于以上研究分析不难看出，教科书在“图形的相似”这一章中，将知识融入较大比重的模式问题中，问题模式的呈现方式遵循教科书所呈现的知识逻辑体系和学生的认知发展规律。事实上，这样的模式问题在教科书中是普遍存在的，不仅体现在图形与几何中，更体现在其他各个知识模块中。数学教科书作为学生学习数学的主要课程资源，在主题展示、素材选取与呈现方面都着力体现数学知识的本质，承担将学生生活经验和学习背景连接，发展学生抽象、概括等能力的作用[4]。在问题解决部分将知识方法融入问题背景中，其中包含着一定的模式问题，这种模式问题有时是在同一章节中屡次出现，有时又在不同章节中相互呼应。 从心理学的角度来看，人们学过的知识、方法、问题解决规律，都会不同程度地保留在记忆之中。在面临数学问题时，人的认知心理中具有的原有知识、经验检索出来的能力，将面临的问题与已有认知中的模式进行比较，这即为模式辨认[5]。能够正确识别问题模式，便可迅速缩小搜索范围，减小思维的强度和负荷。但是，一个问题能否通过模式辨认加以解决，取决于问题本身和问题解决者已有模型的丰富程度。所以，已有模式的积累显得极其重要，教师在钻研教材、备教材时，应注意挖掘教材中这种隐含的模式问题，有意识地向学生呈现，培养学生积累数学学习中的模式问题。 [参 考 文 献] [1] 林夏水. 数学哲学译文集[M].北京:知识出版社，1986. [2] 郑毓信.新数学教育哲学[M].上海：华东师范大学出版社，2015. [3] 王宽明.基于理性向度的中考与学习内容分析：以G省Q州中考数学试题为例[J].教育学术月刊，2017(7):97-103. [4] 史宁中.义务教育数学课程标准解读：2011年版[M].北京：北京师范大学出版社，2012. [5] 张雄，李得虎.数学方法论与解题研究[M].北京：高等教育出版社，2013. |
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