问题表征对应用题解决的影响 ——基于数学学习困难生的研究

一、问题提出

数学应用题是小学数学学习中的重要内容，而学生对问题的表征方式和水平，对解答应用题具有关键作用[1]。问题表征(problem representation)是人们在解决时所使用的一种认知结构，即对信息进行记录、储存和描述以至改进信息的结构方式[2]。学者们一致认为问题表征是问题解决的关键所在，问题表征质量的高低会直接影响到问题解决与否。对问题结构进行错误表征是造成儿童不能正确解决问题的关键原因[3]，因此，正确的问题表征是解决问题的必要前提。

个体解决问题时所使用的表征类型有所不同，不同的表征类型对应用题解决会产生不同的影响[4-6]。对数学障碍儿童的研究显示，数学障碍儿童解决问题时的表征类型比较单一，而且当他们面对条件不充分的问题时，通常选择“复述表征”或依靠脑中形成的图画表征等这些常规的问题表征类型，而数学优等生通常选择图式表征等较高效的问题表征来构建问题。研究还发现，数学障碍儿童在解题中更多地采用现成的图式，但其解题思路和结果却往往是错误的[7-11]。研究者认为，这可能是数学障碍儿童对问题中的信息进行的是自下而上的加工，缺乏自上而下的加工，因此难以建立适当的心理表征。

怎样“灌输”？由于社会主义意识不能从自发的工人运动中产生，他认为这种“阶级政治意识只能从外面灌输给工人，即只能从经济斗争外面，从工人同厂主的关系范围外面灌输给工人。只有从一切阶级和阶层同国家和政府的关系方面，只有从一切阶级的相互关系方面，才能汲取到这种知识”[1]363。

从目前来说，对于数学学习困难的界定、问题表征的划分，还没有形成完全一致的评定标准，所以对于数学学习困难和问题表征研究仍具有深远长久的意义。本研究在前人基础上，以四年级的学生为被试，通过测试数优生、数困生对应用题的解决，试图进一步探讨表征能力在学业类型、表征方式方面的差异和关系，以及两类学生在不同表征方式下解决不同类型应用题的有效性及差异，从而进一步探讨数学学困生的核心缺陷。

二、研究设计

1.研究对象

根据前人研究[10-12]，数困生选择标准：第一，智力正常；第二，数学成绩位于全年级的后10%；第三，无注意力缺陷、情绪障碍等。根据以上三点标准，本研究从北京市某小学四年级学生中共筛选出40名被试，包括数学成绩优秀生(以下简称数优生)20名，数学学习困难生(以下简称数困生)20名。数困生中，包括男生13名、女生7名；数优生中，包括男生11名、女生9名(具体筛选标准见表1)。

两组患者治疗后血清中IL-6和hs-CRP表达水平均显著上升(P<0.05)，其中常规组的增幅显著高于双镜组(P<0.05)。两组中小弯侧患者在治疗后血清中IL-6和hs-CRP表达水平略高于非小弯侧，但差异无统计学意义(P>0.05)。见表3。

表1 数困生和数优生的选择依据

划分依据数困生数优生数学成绩(连续两学期)≤下端10%≥上端10%瑞文标准推理测验总智商≥70总智商≥70教师临床评定数学学习能力“差”数学学习能力优秀其他无视听觉障碍、精神疾病、明显器质性脑损伤及其他严重躯体疾病无视听觉障碍、精神疾病、明显器质性脑损伤及其他严重躯体疾病

2.研究工具

(1)瑞文标准推理测验(中国修订版)。本研究选用瑞文标准推理测验(中国修订版)[13]，对学生进行智力测试。该测试共包括60道题目，分为A、B、C、D、E共5个系列，每个系列包含12道题目，A到E的难度由易到难，各系列中题目难度逐渐增加。每道题答对记“1”分，答错记“0”分，将所有题分值相加得到原始分，后转化为标准分。其中，学生的智力分数在70分以上为正常。

(2)表征能力水平应用题测试卷。根据辛自强[7]对表征能力的划分，本研究自编了《表征能力水平应用题测试卷》，以长方形面积任务的应用题来考查表征能力水平。共设计4道题，每个题目分别对应由低到高的4个表征能力水平。要求学生列式计算，如果列式正确，记为1分，错误记0分。学生如果在某个水平题目上的全部列式都错误，则该学生的表征水平就记为上一水平。即，若该学生在水平1的题目上全部列式都错误，则记为水平0；若在水平2的题目上都错误，则记为水平1，以此类推。

(3)小学生应用题表征类型测试卷。根据以往研究[1-3，14]，儿童解决应用题问题时所采用的问题表征基本有5种类型，即复述表征、图画表征、图式表征、直译表征、关系表征。本研究对应用题表征类型做了操作定义(见表2)，并以此为依据，对本文中的儿童在解决应用题时所采用的表征类型进行了分类。

表2 各表征类型的操作定义及举例

表征类型操作定义举例复述表征重复题目题干多读几遍;背诵;默记图画表征对问题视觉外貌的表征喜欢构建生动的、细致的视觉图像或形象的具体事物图式表征对问题空间关系的表征单位线段表示“距离”,能够用图像的形式呈现构建问题中的数量关系,能够更好地理解题目的内涵与本质直译表征对所感知的信息,从中选取特定的、孤立的数字进行表征寻找题目中的主要数字和关键词,例如,找题目中的“多”“少”等词语关系表征根据已知条件尝试建立数量关系,并能够概括出数量间的相等关系语义结构分析,根据关系命题理解两个名称(人、集合)之间的关系

本研究自编《小学生应用题表征类型测试卷》，以小学数学的教学大纲为基础，参考小学数学教材，在李清[5]问卷基础上修订而形成。该试卷共选择了小学数学中三种典型的应用题，即“植树问题”、“比较问题”和“修路问题”来考查学生的表征类型。本试卷共3道应用题，每道应用题下设置6道不同的选择题，并且在题目最后要求列式计算。由专业数学教师评定，这三道应用题难度中等。对本次收集的数据分析表明该测验的信度较好，内部一致性信度为0.84。

该测试对学生表征类型的确定采用了口头报告法和题后相关选择法，要求学生在解答应用题时进行出声思维，主试对其思维过程和方式进行记录。为了更准确地验证学生的自我口头陈述，本研究要求学生完成题后与表征有关的选择题。将上述两者结果与表2中5种表征类型的操作定义进行匹配，从而确定本研究中学生所采用的问题表征方式。

3.数据处理

研究使用SPSS19.0进行数据统计分析。

调查及记录两组患者主斥的术后髋关节疼痛程度,采用视觉模拟评分法(VAS评分法)进行疼痛程度的评定,重度疼痛:7-10分、中度疼痛:4-6分、轻度疼痛:1-3分、无痛感:0分。

三、研究结果

1.数困生与数优生的表征水平分布

根据胡清芬和辛自强等人[4，7]对表征能力的划分，本研究对学生表征水平由低到高分为四个水平。对两组学生的表征水平进行描述性统计，结果如表3所示。

(三)表现形式。从表现形式上看，2011年网络流行语主要有以下四种类型：旧词新义、结构模因复制、新造英文词和中英文缩写。下面我们结合具体事例来分析。

表3 不同类型学生在表征能力的频次分布 %

表征水平数困生女男数优生女男合计女男水平014.315.4006.28.3水平128.523.00012.512.5水平214.338.511.2012.520.8水平342.923.144.445.543.833.3水平40044.454.525.025.0

由表3可知，数优生的表征水平集中在水平3～4，数困生的表征水平集中在水平1～3，且有3人未能达到水平1，表明数困生在表征水平上显著低于数优生。

对学生的组别与表征水平进行方差分析，结果表明数优生与数困生的表征水平存在显著差异，F(1，36)=33.366，P<0.01，数优生表征水平显著高于数困生。进一步卡方检验得出，两个组别学生在表征水平上不存在显著性别差异，χ2(4，N=40)=0.714，P=0.95。

2.学生在应用题列式成绩的差异

本研究对数困生和数优生的应用题列式成绩进行描述性分析，结果见表4。

表4 两类学生应用题列式总成绩的均值与标准差

表征能力水平1数困生数优生水平2数困生数优生水平3数困生数优生水平4数困生数优生均值0.000.001.333.003.004.670.007.40标准差0.000.002.422.203.801.230.001.17

由表4可知，在数优生中，表征水平4的学生总成绩最高(M=7.40，SD=1.17)，水平2的学生成绩最差(M=3.00，SD=2.20)；在数困生中，表征水平3的学生应用题成绩最高(M=3.00，SD=3.80)，水平1的学生成绩最差(M=0，SD=0)。进一步方差分析结果显示，表征水平的主效应显著，F(4，33)=3.741，P<0.05。该结果表明，不同表征水平的学生在应用题列示成绩存在显著差异，即表征水平能够对数困生与数优生的应用题正确列式进行正向预测。

3.学生使用的应用题表征类型的差异

对不同表征水平的学生所使用的表征类型进行描述性统计(见表5)，从表5中可得，数优生更多地使用较抽象的关系表征，而数困生更多地使用复述表征。进一步卡方检验结果表明，不同表征水平的个体在五种表征的使用上无显著差异，χ2(20，N=40)=29.997，P>0.05；而数困生和数优生在五种表征的使用上存在显著差异，χ2(20(5)，N=120)=23.007，P<0.05。

表5 不同表征水平的学生使用的表征类型的频次分布

表征类型水平0数困生数优生水平1数困生数优生水平2数困生数优生水平3数困生数优生水平4数困生数优生合计数困生数优生无作答100000100020复述表征50601017259280图画表征10205156551311图式表征0010214666713直译表征0010111455310关系表征2050000898717合计90150184172630296051

研究进一步对学生在不同类型应用题即植树、比较、修路问题上所使用的表征类型进行描述性统计，具体结果如表6所示。

煤场喷洒工艺简单，设备改造难度系数低，将脱硫废水引入燃煤堆场喷洒到煤堆上，在不降低燃煤性能的同时，还可以利用电厂燃煤燃烧时所产生的高温将脱硫废水蒸发，脱硫废水中所析出的盐分可同炉渣一起排出，少量盐分随着飞灰的排出，被除尘器捕获。对废水产生量较多的燃煤电厂，可将废水浓缩处理后再喷洒到煤场。

表6 不同学业类型的学生在不同应用题表征类型上的频次分布

表征类型植树问题数困生数优生比较问题数困生数优生修路问题数困生数优生无作答1———1—复述表征9212274图画表征465244图式表征480332直译表征012415关系表征231945总计202020202020

由表6结果可知，在解决“植树问题”上，数困生更倾向选择使用复述表征，数优生更倾向使用图式和图画表征；在解决“比较问题”上，数困生更倾向选择复述表征，数优生更倾向使用关系表征；在解决“修路问题”上，数困生更倾向选择复述表征，数优生则倾向使用直译和关系表征。上述结果表明，在解决三种不同类型的应用题上，数困生倾向于复述表征，而数优生则根据所解决的应用题类型的不同，其所使用的表征类型存在选择性差异。

(1)“植树问题”上的差异。经由小学专家的评定，“植树问题”在应用题学习中属于“较难”。在“植树问题”的解决中，两类学生的表征类型及水平分布如表7所示。

表7 “植树问题”中学生的表征类型及水平分布

表征类型水平0数困生数优生水平1数困生数优生水平2数困生数优生水平3数困生数优生水平4数困生数优生复述表征1030301101图画表征1000202303图式表征0010111304直译表征0000002100关系表征1010000102总体30506169010

由表7可知，数困生和数优生在解决“较难”的植树问题时，大多都选择复述、图画和图式表征。在表征水平上，数困生多数分布在水平0～2，数优生集中在水平3～4。对两组学生的“植树问题”列式成绩进行方差分析，结果发现，表征水平主效应显著，F(4，17)=5.502，P<0.01；学业类型和表征类型交互效应显著，F(2，17)=4.203，P<0.05，这说明在表征方式和学业类型的交互作用对学生在应用题列式成绩有显著的差异。进一步分析发现，在数困生中，使用图画表征的学生成绩最好；在数优生中，使用直译表征的学生成绩最好。以上结果表明，在较难问题的解决上，数困生使用较具体的图画表征更有利于其问题的解决。

(2)“比较问题”上的差异。经由小学专家的评定，“比较问题”在应用题教学中属于“容易”的难度范畴。在解决“比较问题”中，两组学生的表征类型及水平分布如表8所示。

关于建设“城市水库”打造“浙中水乡”的调研与思考……………………………………………………… 陈一新(9.7）

表8 “比较问题”中学生的表征类型及水平分布

表征类型水平0数困生数优生水平1数困生数优生水平2数困生数优生水平3数困生数优生水平4数困生数优生复述表征3010404002图画表征0020102200图式表征0000000201直译表征0010110102关系表征0010000405总体30506169010

由表8可知，在解决“比较问题”时，数困生集中分布在复述表征上，数优生更多地分布于较为抽象的直译表征和关系表征上。对两组学生之后的列式成绩进行方差分析，发现不存在显著差异。该结果表明，在解决“比较问题”上，两组学生的列式成绩不存在显著差异，即不同表征水平的学生无论使用何种表征类型，其列式成绩之间均不存在显著差异。这可能由于“比较问题”较为简单，学生均能正确地写出列式。

(3)“修路问题”上的差异。“修路问题”的难度经由小学专家评定为“较容易”。在“修路问题”的解决中，两组学生的表征类型及水平分布如表9所示。

表9 “修路问题”中学生的表征类型及水平分布

表征类型水平0数困生数优生水平1数困生数优生水平2数困生数优生水平3数困生数优生水平4数困生数优生复述表征1020311102图画表征1000202202图式表征0000102101直译表征0000001203关系表征1030000202总体30506168010

由表9可知，在解决“修路问题”时，数优生的表征水平主要分布在水平3～4，数困生则集中在水平0～3。数困生更多地使用复述和图画表征，数优生更多地使用直译表征和关系表征。对两组学生“修路问题”的列式成绩进行方差分析，发现不存在显著差异。该结果表明，对于“较容易”的“修路问题”，数困生和数优生虽然在表征水平和表征类型上存在差异，但是其列式成绩之间不存在显著差异。

传统建筑因不同的地域，不同的用途，有着不同的样貌和细节。这些样貌和细节不仅在造型上极具美感，同时有着丰富的内涵。从古至今，这样的造型和内涵给陶瓷艺术带来许多灵感，两种艺术在历史长河中交汇、融合，产生许多美妙的艺术浪花。

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四、分析与讨论

1.数困生与数优生在表征水平上存在显著差异

本研究结果表明，不同学业类型学生在表征能力水平上有极显著差异，数困生的表征能力主要集中在水平1～3之间，数优生的表征能力主要集中在水平3～4之间，数困生的表征能力明显低于数优生的表征能力，这与仲宁宁等人(2009)的研究结果大致相似。这可能是由于数优生拥有更高水平的图式水平、知识基础，得到的相应训练也较多，使得思维逻辑更加严谨。虽然整体是这种趋势，但本研究发现也存在表征能力较高的数困生。在仲宁宁等人的研究中没有提及，这可能是由于数困生恰巧对所出的应用题型较为熟悉，之前对其进行过练习，导致其所测的表征水平较高。

研究结果显示，学生的表征能力水平在应用题列式成绩上有显著差异，而学业类型、学业类型与表征能力的交互作用对应用题列式成绩的影响均不显著，即学生的应用题列式成绩受学生表征能力水平的影响。表征水平越高，证明学生对知识的掌握越稳固，认知负荷达到相应程度，也使得学生列式成绩会较高。

学生在解决数学应用题时出现错误的原因：一方面是缺乏相应的知识；另一方面是认知负荷的有限性[15]。因此，教师在日常的数学教学中，应加强对数困生知识的指导与巩固。对他们进行较强针对性的强化训练，对薄弱环节不断训练，让数困生尽可能做到熟能生巧，从而提高学生的表征水平及数学成绩。另外，也要考虑学生自身的认知因素，要做到因材施教，对待自身存在某些缺陷导致成绩不太好的学生，教师应当做到耐心、细心，在教学过程中循序渐进，以鼓励为主，对学生的进步及时进行强化。

2.数困生与数优生在表征类型选择上存在显著差异

研究结果显示，数困生和数优生解决问题时所使用的表征类型存在显著差异，数优生更多地使用较抽象的关系表征，而数困生更多地使用复述表征。这可能与数困生的认知结构较为单一、概括与分析比较能力较弱有关(郑琳娜，张奇，2007)。数困生在这些能力上的缺陷导致他们与数优生相比，不能灵活地运用、切换不同的表征类型。

另外，由于表征策略的选择在一定程度上依赖于个体自身的工作记忆容量[16]，而数困生自身的工作记忆容量有限，他们经常无法系统地把握整个题目的意义，而只能关注其中的数字或关系词，往往就选择对工作记忆要求较低的表征策略来解决问题。因此教师在日常教学生活中可以对学生进行关于工作记忆的一系列针对性较强的训练，以提高数困生的工作记忆容量，从而促进数困生对较抽象的表征策略的选择与使用。

3.数困生与数优生在解决不同难度应用题时具有差异

研究发现，在解决较容易的应用题时，数困生尽管表征水平较低、表征类型较简单，但其列式成绩与数优生之间不存在显著差异。而在解决较难应用题时，数优生的列式成绩显著高于数困生，这与先前相关研究结论一致[6，12]。另外，本研究还发现，学生在解决较难的应用题时，数困生多使用复述表征，而数优生使用较抽象的表征类型。

在简单题目中，由于学生对其的熟悉度，不需要做深度思考便可以成功解出；而在面对较难的应用题时，只有对其进行深度加工，才能顺利解决。此外，在解决较容易问题时，所需要的表征类型较为直观；而在解决较难问题时，需要较为深度的思考和对知识的加工。而数困生对关系表征等较为抽象的表征方式难以熟练运用，因此在较难问题的解决上，数困生使用较具体的图画表征更有利于其问题的解决。与此同时，数优生能够使用较抽象的表征方式，以此来更好地解决较难的应用题。

[5][11] 娜塔丽·萨洛特：《怀疑的时代》，林青译，柳鸣九编选：《新小说派研究》，北京：中国社会科学出版社，1986年，第28-30页。

由此可知，提高表征水平可以有效提高学生的应用题成绩，尤其是在解决难度较大的应用题时。因此，在数学教学活动过程中，教师可以通过对数困生的表征能力进行专业性、针对性的训练，从而提高他们应用题的成绩。

[参 考 文 献]

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