自然坐标系——曲线运动研究方法

​想必大家都看过《神偷奶爸》系列电影吧！你是更喜欢里面的温馨家庭，还是超萌可爱的小黄人呢？

其实你忽略了一位非常重要的反面配角，他却是我们这一集的“主角”，他就是：

看到他帽子上的“V”子缩写了吗？

不是胜利——“victory”，

而是“矢量”——“vector”

（自然科学术语）矢量（vector）是一种既有大小又有方向的量。

“矢量”特殊就特殊在——“方向”

整个物质世界是“矢量”性的，所以世界要用“矢量”来描述。就连大名鼎鼎的反派神偷（他偷了埃及的金字塔，放在自家的后院！）都用“V”来做自己的标签，你要知道反派是特别注重自己的形象的！

自然坐标系

今天我们利用“自然坐标系”——研究曲线运动的利器，这个话题，体会一下矢量的“方向性”

'人法地、地法天、天法道、道法自然'

——老子《道德经》

在研究曲线运动时，物体的速度大小、方向不断变化，“自然坐标系”就是这样一种顺应速度的变化，“自然而然”的坐标系。

自然坐标系——是沿质点的运动轨迹建立的坐标系，在质点运动轨迹上任取一点作为坐标原点O，两个方向是这样定义的——“切向”（用字母τ表示），沿质点所在点的轨迹切线方向；“法向”（用字母n表示），垂直于在同一点的切向而指向曲线的凹侧。可见这两个方向，也是随质点位置的不同而不同的。

这样一来，在自然坐标系中表示质点的速度，是非常简单的，因为无论质点处在什么位置上速度都只有“切向”分量，而没有“法向”分量。

在该坐标系下，力也是按照这两个方向分解的。

如图1：

F沿“切向”的分力F2，与速度同向，则其作用为增大速度的大小；

F沿“法向”的分力F1，与速度垂直，则其作用为改变速度的方向。

如图2：

F沿“切向”的分力F2，与速度反向，则其作用为减小速度的大小；

F沿“法向”的分力F1，与速度垂直，则其作用为改变速度的方向。

综上：

①切向力只改变速度的大小

②法向力只改变速度的方向

③力与速度为锐角时，物体做加速曲线运动；力与速度成钝角时，物体做减速曲线运动。

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接下来我们用自然坐标系分析一下常见的两种圆周运动的不同特点。

“匀速圆周运动”与“变速圆周运动”，“切向力”与“法向力”的特点：

（注：“向心加速度”——即“法向加速度”）

一、“匀速圆周运动”，只有法向加速度（即向心加速度），只有法向力（即向心力）；没有切向力和切向加速度，因为速度的大小不变。

所以我们说：“匀速圆周运动的合力指向圆心”，因为小球没有切向力！

二、“变速圆周运动”——以竖直面内圆周运动为例

如图，绳子拉力T始终指向圆心，所以它为法向力，只改变速度的方向；重力始终竖直向下，则需要分解。同中只画出了4个位置的切向（τ方向），重力向切向和法向分解，可知，在4个位置重力各有两个分力。右半圆，重力与切向正方向的夹角为钝角，所以小球的速度减小；左半圆，重力与切向的正方向夹角为锐角，所以小球的速度增加。

因为，竖直面内的圆周运动既有切向力，也有法向力，

所以我们说：“变速圆周运动的合力不指向圆心”（特殊位置除外）。

如图，在最高点和最低点，重力和绳子拉力均在法向，合力也在法向，所以在这两个位置，小球的合力指向圆心。

综上：在自然坐标系里，速度不需要分解，只需将力沿切向和法向分解

原来力是这样分解的呀！（切向和法向）

这里又在分析F和v了，还记得我们的“眼镜”吗？