【原】【高考数学】解题能力提升, 每日一题：第633题，圆有关的圆锥曲线

典型例题分析1：

已知△ABC的外接圆方程为x2+y2=5，直线AC：y=﹣1（点A在第四象限），设AB中点为M，AC中点为N，若|AN|=|MN|，则直线AB的斜率为　   　．

解：由题意可得A（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），

∵AB中点为M，AC中点为N，且|AN|=|MN|，

∴|AB|=|AC|=4，

设B（x，y），

则x2+y2=5且（x﹣2）2+（y+1）2=16，

考点分析：

直线与圆的位置关系．

题干分析：

由题意和距离公式解方程组可得B的坐标，进而由斜率公式可得．

典型例题分析2：

已知b，r∈{1，2，3，4}，则直线y=x+b与圆x2+y2=r有公共点的概率为　 　．

解：∵b，r∈{1，2，3，4}，∴b，r共有4×4=16种，

若直线y=x+b与圆x2+y2=r有公共点，

则圆心到直线的距离d=|b|/√2≤√r，

即b2≤2r，

若b=1则r≥1/2，则r=1，2，3，4，

若b=2，则r≥2，则r=2，3，4，

若b=3，则r≥9/2，则r不存在，

若b=4，则r≥8，则r不存在，

则满足条件的b，r 有7种，

则直线y=x+b与圆x2+y2=r有公共点的概率为7/16，

故答案为：7/16

考点分析：

直线与圆的位置关系．

题干分析：

根据直线和圆有公共点的等价条件，结合古典概型的概率公式进行求解即可．

典型例题分析3：

已知：如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF与直线AB垂直，H为垂足，CF与AB交于点E．

（1）求证：PA·PB=PO·PE；

（2）若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径等于2，求弦CF的长．

（1）证明：连接OD．

∵AB是⊙O的直径，且DF⊥AB于D点H，

∴弧AD=弧AF=弧DF/2．

∴∠AOD=∠DCF．

∴∠POD=∠PCE．

∵∠DPO=∠EPC，

∴△DPO∽△EPC．

∴PD/PE=PO/PC．

即PO·PE=PD·PC．

又PD·PC=PA·PB，

∴PA·PB=PO·PE．

（2）解：由（1）知：AB是弦DF的垂直平分线，

∴DE=EF．

∴∠DEA=∠FEA．

∵DE⊥CF，

∴∠DEA=∠FEA=45°．

∴∠FEA=∠CEP=45°．

∵∠P=15°，

∴∠AOD=60°．

在Rt△DHO中

∵∠AOD=60°，OD=2，

∴OH=1，DH=√3．

∵△DHE是等腰直角三角形，∴DE=√6．

又∵∠AOD=∠DCF，∠DHO=∠DEC=90°，

∴△DHO∽△DEC．

∴DH/DE=HO/EC，

∴√3/√6=1/BC．

∴EC=√2．

∴CF=CE+EF=CE+DE=√2+√6．

考点分析：

与圆有关的比例线段．

题干分析：

（1）根据切割线定理，PD·PC=PA·PB，所以原题可转化为证明PO·PE=PD·PC，即证△DPO∽△EPC，从而找出比例线段，得到等积式；

（2）由图可知，CF=CE+EF，而由垂径定理可知DE=EF，所以只要求出DE和CE即可，欲求CE，可通过证明△DHO∽△DEC，运用比例线段进行求解，至于DE，则根据题中给出的已知条件可说明三角形DHE为等腰直角三角形，而DH和HE则可通过勾股定理求出，从而求出CF的值．