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高中数学中的函数最值求解问题是学习中的难点，在解决函数最值问题的时候要经过全方位的考虑，结合函数的定义域，将各种可能出现的结果进行分析，最终求得准确的计算结果。 在数学学习的过程中活跃的数学思维非常重要，它不仅可以改善学习方法，而且可以帮助学生掌握更多的解题技巧，进而提高解题速度和学习效率。 本文总结了一些求函数最值的常用方法如下： 一、利用一次函数的单调性 【例题1】已知 x , y , z 是非负实数，且 x + 3y + 2z = 3 , 3x + 3y + z = 4 , 求函数 w = 2x - 3y + z 的最值 . 解：  得 y = 5/3（1 - x）, z = 2x - 1 ∴ w = 9x - 6 又 x , y , z 非负，  依一次函数 w = 9z - 6 的单调性可知 当 x = 1/2 时，Wmin = -3/2 , 当 x= 1 时，Wmax = 3 . 注： 再求多元函数的条件最值时，通常是根据已知条件消元，转化为一元函数来解决问题. 对于一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 的最值，关键是指出自变量的取值范围，即函数的定义域，当一次函数的定义域是闭区间时，其最值在闭区间的端点处取得 . 二、利用二次函数的性质 【例题2】设 α , β 是方程 4x^2 - 4kx + k + 2 = 0 的两个实数根， 当 k 为何值时 α^2 + β^2 有最小值？ 解： ∵ α , β 为方程的两个实数根， ∴ α + β = k , αβ = 1/4 ( k + 2 ) , 令 y = α^2 + β^2 , 则有  又由原方程由实数根可知，  ∴ k ≤ -1 或 k ≥ 2 . 而二次函数的顶点 （1/4，-17/16）不在此范围内，根据二次函数的性质知， y 是以 k = 1/4 为对称轴，开口向上的，定义域为 （-∞，-1]∪[2，+∞）的抛物线， 比较 k = -1 及 k = 2 时 y 的值知， 当 k = -1 时，有 ymin = 1/2 . 注： 利用二次函数的性质求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得 . 首先要求出函数的定义域，然后在看顶点是否在函数的定义域内，最后再根据函数的单调性来判定 . 【例题3】如图所示，抛物线 y = 4 - x^2 与直线 y = 3x 交于 A , B 两点， 点 P 在抛物线上由 A 运动到 B，求 △APB 的面积最大时点 P 的坐标 .  分析： 由于 A , B 为定点，所以 AB 长为定值，欲使 △APB 的面积最大，须使 P 到 AB 的距离最大 . 解： 设 P 点坐标为 （x0 , y0）, ∵ A , B 在直线 y = 3x 上， ∴  联立抛物线与直线方程，可得 xA = -4 , xB = 1 , ∴ -4 ≤ x0 ≤ 1 , 则有  ∴  当 x = -3/2 时，d 取最大值，△APB 面积最大，此时 P 点坐标为 （-3/2 , 7/4）. 注： 在解决实际问题时要注意确定自变量取值范围的方法，本题是由直线与抛物线的交点来确定的，这样才能确定定义域内的最值 . 三、利用二次方程的判别式 欲求函数 y = f(x) ( x ∈ R ) 的极值，如果可以把函数式整理成关于 x 的二次方程， 注意到 x 在其定义域内取值，即方程有实根， 所以可以通过二次方程的判别式 △ ≥ 0 来探求 y 的极大值与极小值 . 【例题4】已知 0 ≤ x ≤ 1 , 求  的最值 . 解：原式可化为  ∵ x ∈ R , ∴  解得 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ， 即函数 y 的值域为 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ， ∴ y极大 = 1/4，y极小 = 9/16 . 当 y = 1/4 时，代入原函数解析式得 x = 1 ∈ [ 0 , 1 ] ; 当 y = 9/16 时，代入原函数解析式得 x = -1 ∉ [ 0 , 1 ] . 又 x = 0 时 ， y = 2/3 , ∴ 当 x = 0 时，y 取极大值 2/3 . 注： ① 由判别式确定的是函数的值域，由值域得到的是函数的极值而不是最值； ② 对有些函数来说，极值与最值相同，而有的函数就不一定， 如本题中的极大值比极小值还小，这是因为极值是就某局部而言； ③ 若要求函数在给定的定义域内的最值，一定要注意极值是否在此定义域内取得， 即要注意验根 . 四、利用重要不等式 【例题5】设 x , y , z ∈ R+ , 且 2x + 4y + 9z = 16 . 求 6√x + 4√y + 3√z 的最大值 . 解： 令 u = 6√x + 4√y + 3√z , ∴ u ≤ 4√23 , ( 其中当 9/x = 1/y = 1/9z 时，即当 x = 144/23 , y = 16/23 , z = 16/207 时取等号) 故 注： 这里是应用柯西不等式，在应用公式时， 如何构造出已知条件等式 2x + 4y + 9z = 16，颇具技巧性和解题意义 . 五、利用三角函数的有界性 对于三角函数的极值，通常是利用三角函数的有界性来求解问题的， 如正、余弦函数的最大（小）值很明显：y = asinx + bcosx （a , b ≠ 0） 引入辅助角 θ，则 其最值也一目了然 . 而对于其它的类型或用同角关系式、或用万能公式、或用正余弦定理作转化，变为二次函数问题来求解 . 【例题6】求 的最值 . 解法一：（利用降幂公式） 解法二：（用判别式法） 注：本例还可以用万能公式等方法来求解 . 六、利用参数换元 对于有些函数而言，直接求极值比较复杂或不方便，这时可根据题目的特点作变量代换，然后运用前面的几种方法来解决问题.在换元时，一定要注意新的变量的取值范围 . 【例题7】求函数 y = x + √( 1 - x ) 的极值 . 解： 原函数变为 ∵ t = 1/2 ∈ [ 0 , +∞ ) , ∴ 当 t = 1/2 ，即 x = 3/4 时，ymax = 5/4 . 注：这种换元虽然十分简单，但具有代表性 . 七、利用复数的性质 【例题8】已知复数 z 满足 | z | = 2 , 求 | 1 + √3 i + z | 的极值 . 解法一： 设 z = 2（cosθ + isinθ） （∵ | z | = 2） 故 | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 . 解法二： 依据 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | , 有 | 1 + √3 i | - | z | ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ | 1 + √3 i | + | z | ， 即 2 - 2 ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ 2 + 2 ， ∴ | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 . 注： 求复数模的最值通常可用代数法，三角法（解法一）， 复数模的性质及其公式 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | , 此外还有数形结合方法等，但以上两种方法最为简捷. 八、利用数形结合 有些代数和三角问题，若能借助其几何背景，予以几何直观，这时求其最值常能收到直观、明快，化难为易得功效. 【例题9】求 的最值 . 解：将函数式变形为 其几何意义是在直角坐标系中，动点 P（cosx , sinx）和定点 A（-2 ， -1）连线的斜率， 动点 P 的轨迹为单位圆，如下图所示： 知 kAB 最小，kAC 最大，显然 kAB = 0 , 又 tgθ = |OB|/|AB| = 1/2 , tg∠A = tg2θ = 2tgθ/（1 - tg^2 θ）= 4/3 , 即 kAC = 4/3 , 故 ymin = 0 , ymax = 4/3 . 注： 形如 [f(x) - a] / [g(x) - b] 的函数式， 通常都可视作点 （g(x) ，f(x) ） 与点 （b , a）的连线的斜率 . 运用数形结合的思想解题，关键是要进行合理的联想和类比， 将代数式通过转化、变形、给予几何解释， 通常这种转化与变形的过程常是一种挖掘和发现的过程，如本例需要挖掘 . |
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