小棒，让数学课堂如此精彩

《义务教育数学课程标准（2011 版）》中指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”可见，动手操作是学生获取知识的有效方式。在传统的课堂教学中，教师将数学知识直接灌输给学生，学生只能被动接受，缺少动手操作的过程，对所学知识无法产生深刻的印象。而小棒是解决数学抽象性与学生形象思维为主的认知矛盾的主要工具。小棒的有效运用，可以让枯燥的课堂“动”起来，将传统的灌输讲解变为主动建构，让学生的思维在动手操作的过程中碰撞，真正让学生的数学学习过程变得深入浅出。

为了迎合小学生的天性，提高教学效率，教师可以在教学中巧用游戏教学，通过游戏，帮助学生进行由单词到短语再到句子听力的训练。比如，对低年级学生采用单词分类游戏，教师先说出一个单词，让学生以小组为单位，说出同类单词，如banana，apple，grape等。在中高年级的听力教学中，教师可以采用句子和短语的接龙游戏。如，I am a boy.I like blue.I like to draw pictures等。这样既能活跃课堂气氛，还能调动学生学习的积极性，对课堂教学和学生的听力锻炼都是有利的促进。可见，游戏在小学英语听力教学中的运用，有着不可替代的作用。

一、引导“摆”小棒，帮助学生形成数感

《义务教育数学课程标准（2011 版）》中指出：“在第一学段的教学中，要让学生感受数的意义，体会数用来表示和交流的作用，初步建立数感。”数感的建立，有助于学生理解数在现实生活中的意义。低年级学生的抽象思维能力还不发达，仍以直观、形象思维为主，培养他们的数感应从具体的实物入手。而“摆”小棒对学生认数以及数感的形成，都具有一定的促进和帮助作用，可以拨动学生的心弦，叩开数学之门，为学生后续学习数的运算奠定坚实的基础。

在教学认识10 以内的数时，教师先在屏幕上出示2朵花、2 个球、2 本书、2 块糖……如果此时直接告知学生，这些都可以用“2”表示，这显然是一个由“具体”直接到“抽象”的过程，加大了学生的学习难度，容易使学生似懂非懂。于是教师引导学生根据这些物体的数量，用小棒摆一摆，并让学生边摆边说“摆的是什么物体的数量，用几根小棒表示”。学生每摆一次就经历一次抽象的思考过程，在反复的摆与说的过程中，学生逐渐明白：数量是2的物体都可以用2根小棒来表示，也就是2根小棒可以表示数量是2 的所有问题。显然，教师在课堂教学中，借助小棒为学生搭建了抽象与形象的桥梁，此时抽象出数字“2”则顺理成章。

上述案例中，教师没有将抽象的数字“2”直接告知学生，而是引导学生“摆”小棒，借助小棒的直观性，让学生经历摆一摆的学习活动，进而形成数感。

二、借助“分”小棒，帮助学生感悟算理

算理和算法是计算教学中的重要元素，两者不可偏废。所谓“算理”，就是计算过程中的道理，重在解释为什么可以这样算，而“算法”重在解释应该怎样算。“算理”是“算法”的依托，而“算法”是“算理”的表现形式。很多时候，算理蕴含在情境中，体现在分一分、比一比等具体的操作中。在计算教学中引入小棒，有助于学生发挥指尖的智慧，在直观的操作中理解算理，更好地掌握计算方法，形成计算技能。

在教学两位数除以一位数的笔算除法时，教师先给出问题：“有52 个羽毛球，10 个羽毛球为1 筒，将这些羽毛球平均分给两个班级，每个班级可以分多少个？”学生依据题目中的数量关系，很快列出算式“52÷2”，并通过口算算出了结果。那么如何进行竖式计算呢？学生犯了难，为此教师让学生拿出小棒分一分，并请学生代表到讲台前演示分的过程。学生先把5 捆小棒平均分成2份，1 份有2 捆小棒，剩余l捆。教师相机指着竖式问：“2写在哪里？”因为2 捆小棒就是20 根，这里的“2”表示两个十，所以应该写在十位上。“接着怎么分？”学生将剩下的l捆小棒拆开，和原先的2根合在一起，将12根小棒平均分成2份，1份就是6根，所以6应该写在个位上。

由于光伏发电的PDF是已知的，所以可以使用公式（3）中的线性模型计算发电量的累积量。生成输出的PDF可以使用截断的Gram-Charlier级数A型展开式[16]来近似得到：

上述案例中，教师联系“分”小棒的过程，让学生理解十位上余下来的l，应该与个位上的2 合成12，然后继续除的算理，真正让学生在操作中明理，在明理中成法，实现对数学符号形式的正确表述。

三、通过“搭”小棒，帮助学生内化概念

概念是数学的基石，也是数学思维的基础，它有明确、规范的表达形式，对学生的抽象逻辑思维能力要求较高。而小学生由于生活经验的缺少和认知能力的薄弱，对抽象的概念内容无法在有限的时间内做到透彻、深入的理解，经常会出现思维断层，甚至会出现错误，结果是教师教得累，学生学得苦。为了帮助学生更好地内化概念，教师可以引导学生操作小棒，经历拼、搭的学习活动，从而让学生的大脑处于高度集中的状态，并活跃他们的思维，真正将抽象的概念变得模型化、具体化。

在教学三角形三边关系时，教师让学生课前准备了不同长度的小棒。课始，教师让学生拿出小棒依据导学单进行动手操作：①让我来挑选：在自己所准备的小棒中，任意选择3根不同长度的小棒。②让我来尝试：将所选的3根小棒摆一摆、搭一搭，看是否可以搭成一个三角形。③让我来整理：有的同学抽取的3 根小棒可以搭成三角形，而有的同学抽取的3根小棒不可以搭成三角形，请将他们搭三角形所用的小棒的数据用表格进行整理。④让我来发现：对表格中的数据进行观察、比较，有什么发现？这几个问题具有很强的指向性和层次性，但无不是围绕着“搭小棒”的活动展开，层层推进，帮助学生步步逼近知识的“内核”：三角形的两边之和大于第三边。

上述案例中，教师从引导学生选小棒入手，让学生在“搭”小棒的过程中产生认知冲突，进而产生验证的心理需求，再通过观察、比较小棒的相关数据，掌握概念的内涵，进一步提升了自主学习能力。

四、依托“围”小棒，帮助学生体验策略

《义务教育数学课程标准（2011 版）》倡导培养学生的策略意识和解题能力，活化学生的思维，提升学生思维的灵活性、敏捷性和创造性。而很多策略意识的形成，都来自于学生的动手实践，教师应遵循学生的认知规律，依托“围”小棒的活动，唤醒学生的策略意识，让学生经历感性经验、积累表象、理性认识的学习过程，形成“学策略、懂策略、用策略”能力，使学生的思维更加清晰化、系统化和整体化。

总之，在白银古道及其左近区域流传的许多与白银相关的故事，如有德之人得好报拣银子说，土地公和神灵送银子说，银子“有灵说”，炼银老总是银精转世说，神仙显灵帮助银精说，满月送孩子银饰的民俗，银饰陪葬品，民间日常用银的习惯，农村中通过银器来“收惊”，用白银命名的地点等等，都或多或少似乎应证了白银万能，有银子就有一切的拜物教信念。出于对白银崇拜，衍生出许多关于白银万能的故事的白银文化在白银古道左近区域根深蒂固，影响着生活在这一区域人们。

在教学一一列举策略时，教师出示例题：“王大叔用22 根1 米长的木条围一个长方形花圃，怎样围面积最大？”透过题目中的条件“用22 根1 米长的木条”可以发现不管围成怎样的长方形花圃，周长都是22 米，且长和宽都是整米数，一条长与一条宽的和为22÷2=11（米）。“究竟有多少种不同的围法呢？”教师将学生分成了很多学习小组，然后让小组成员合作用小棒代替木条尝试围，围好后记录相关数据，并引导学生用表格进行整理：

长/米宽/米面积/平方米10 1 10 9 2 1 8 8 3 2 4 7 4 2 8 6 5 3 0

通过操作小棒，学生发现当所围花圃长6米、宽5米时，面积最大，而一一列举策略的优势也跃然纸上，即可以做到不遗漏、不重复。

上述案例中，教师通过“围小棒”，让学生积极、主动地探究，深化对所学知识的理解，领悟到一一列举策略的优越性和有效性，在此过程中也让学生的思维实现了拔节、提升。

化工原理认识实习是化学工程与工艺专业的一个必修课程.通过认识实习，学生可以了解化学工业在国民经济中的地位、作用及其发展趋势，培养事业心、使命感和务实精神，激发学生热爱所学专业和奋发学习的热情；在实习过程中，学生可以用已学过的专业理论知识分析实习企业应用的实际技术，使其理论知识得到充实、印证和巩固、深化，既体会到学习书本知识的必要性，又提高解决实际工程技术问题的能力[1-3]，并通过将学过的基础课程与生产实践相结合，进一步了解化工专业方向，为学习专业课奠定基础.

总之，小棒是一种重要的学具，有助于激活学生的思维，拓宽学生的学习领域，培养学生的实践能力。因此，在教学中，教师对小棒应该引起足够的重视，使学生在操作小棒的过程中，参与知识形成和发展的全过程，积累基本的活动经验，真正让数学课堂焕发出生命的活力和精彩。