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如果你问一个大学老师，什么是高等数学的基础课？他可能会和你说，微积分和线性代数。对于一个非理工专业的大学生来讲，如果在大学里只学两门数学课，恐怕就是这两门了。微积分主要是训练我们的思维方式，而线性代数，大家在工作和生活中真的用得上。 关于线性代数，我们其实已经讲了两讲了，只是我没有用这个名词罢了。我们讲的都是向量代数，它其实就是线性代数中最基本的内容。在线性代数中，用到的最多的概念是矩阵。矩阵是怎样一回事，它有什么用途呢？让我们先来看一个具体的矩阵： 从这个矩阵中你可以看出，它无非就是把数字按照横竖排起来，每一行、每一列数字的数量都相等。比如上面一个矩阵有3行，每行有4个数，我们称这种矩阵为3x4的矩阵。 了解了矩阵的形态，你可能紧接着就有一个问题：把数字这么横平竖直地排列起来有什么用？事实上，把数字这么横平竖直地排列不是原因，而是结果，矩阵产生的原因是向量的扩展。 我们在前面讲了，向量是横着的一排数字，每一个数字代表一个维度的分量。比如一个企业在招聘员工时把所有考核的项目总结为N个维度。每一个岗位对各种能力的侧重点就是一个N维向量，比如办公室部门对人的要求是能力、沟通、协作、健康四个维度，写成V1=（3，2，5，0）。 我们上一讲讲了，可以用它来算算和某个候选人的相似性。当然公司不仅仅有办公室一个部门，还有比如销售部门、研发部门，等等。每一个部门可能又有不同的岗位，每一个岗位的要求就是一个向量。于是，我们就会有V2，V3，V4，……，VM。 这么多向量如果把它们放在一起，怎么表示比较好呢？显然最直观的方式，就是把它们一行行排起来，这形成了一个有M行N列的矩阵。这就是矩阵的由来。 今天“矩阵”这个词无论是在数学上还是生活中都经常用，但是它在数学史上出现的时间非常晚，直到1850年才由英国数学家西尔维斯特（James Joseph Sylvester）发明，而构成它的向量其实出现的时间也很晚，是1835年才被提出来的。 当然，你如果读一些文章会提到早在3世纪的时候，中国数学家就发明了矩阵的原型，类似的话日本人、意大利人和阿拉伯人也都这么说，但是那些所谓的发明和今天的数学发展没有半点关系。 因为对于一个矩阵，不仅仅是把数字一行一列地排起来，更重要的是每一行、每一列需要能够被赋予特殊的含义，而且需要发明出一系列相应的计算，让这个工具能够解决很多问题。西尔维斯特所提出的矩阵则满足了这些要求。关于矩阵的运算有很多，我们接下来就介绍两种最简单的，即加法和乘法。 首先讲讲矩阵的加法。 我们可以把一个M行N列，或者说MxN的矩阵想象成一个公司的M个岗位，每个岗位有N种技能。我们假设这个公司是一家跨国公司，它会对人员有一个总体上的要求，但是对于不同国家的员工在要求上也会有不同的调整，比如对英语水平的要求。 我们把总体要求用矩阵A来表示，某个国家相应的调整用矩阵B来表示。那么矩阵A+B，就是在某个国家具体的要求。为了直观起见，我们就假设矩阵A是上面那个3x4的。矩阵B也需要是一个3x4的矩阵。我们随便写一个B矩阵，比如像下图这样： 当我们进行A+B时，只要把两个矩阵中相应位置的元素逐一相加即可，也就是说矩阵A加矩阵B，会得到下面的结果。 今天在生活和工作中，经常需要有相对固定的大的原则，以及针对各种情况的小的变动，这时候就需要有一个相对固定的核心，再加上一个增量，而不是复制一大堆，拷贝以后逐一修改。 相比矩阵加法，用途更大的可能是矩阵乘法。我们先来说说一个矩阵和一个向量是如何相乘，然后再扩展到矩阵和矩阵的乘法。 我们来看一个实际的例子，假如第一家投资银行的股票基金、债券基金和高风险基金的回报分别是：7%、3%和10%，第二家投资银行三类金融产品的回报分别是8%、2%、9%。当然，这些都是历史数据，只能作参考。 你现在有1万元要投资，你是找第一家投行，还是第二家投行给你管钱呢？我们不妨把这两组数放到下面这个矩阵中： 然后我们根据自己对各种投资的喜爱和对风险的承受能力，分别测算在不同情况下的回报是多少。 比如在第一种情况下，1万元按照上述投资类型的分配方式如下：7000、2000、1000。因为这1万元分到了三个维度中，我们把它写成一个向量，不过为了等会儿方便做乘法，我们将向量竖着写： 这时，如果把钱交给这两家公司，总的回报就是矩阵R和P1相乘的结果，我先把结果给大家看看，然后再说说是如何计算的。 我们可以看到，第二家投行带来的投资回报更高。那么这两个数是怎么计算的呢？抛开矩阵和向量，这个问题其实也能算清楚。 就以第一家投行为例，7000元7%的回报是490元，2000元3%的回报是60元，1000元10%的回报是100元，加起来是650元。我们把这个式子列一下： 7%x7000+3%x2000+10%x1000=650 你如果注意一下上面的矩阵和向量，你会发现这就是矩阵第一行每一个数字，分别和向量的每一个数字相乘之后再相加。为了清楚起见，我把矩阵和向量中参与运算的数字用红颜色标了出来： 类似的，第二个结果690，就是矩阵第二行和向量各个元素相乘后再相加的结果。 当然，可能有朋友会说，这不就是算术中加权相乘后的连加吗，为什么要搞出矩阵这样一个工具？如果只有三个维度，可能不需要用矩阵，但是如果是1万维、1百万维，人通常就想不清楚了，矩阵就非常直观，使用它既方便又不容易出错。 我们可以这样理解矩阵和向量相乘，它是批处理解决问题的思路，而过去我们学的乘法和连加是单个解决问题的思路。 接下来我们再看另一种情况，假如你这时对风险的承受力比较强，愿意将更多的钱放在高风险、高回报的基金中。比如你按照3000、2000、5000来分配投资，我们把这个向量称为P2，这时哪家的回报更高呢？ 我们再用矩阵和向量的乘法做一次，得到下面的结果。 你可以看出，这时第一家投行给的回报更高了。当然，你还可以尝试其它的投资方式，对应的向量就是P3，P4，P5…… 今天，你如果带着一大笔钱找到高盛或者摩根士丹利，问它们会打算怎么帮你投资，它们为你做的第一件事情就是根据历史数据，帮你推算出在不同的投资配比情况下，回报是多少，也就是做我们刚才做的事情。因此，如果你想在投行找工作，用到最多的数学工具就是线性代数中的矩阵运算。 下面，我们把P1，P2, P3……这些向量一字排开，其实就得到一个矩阵P。我们可以写成下面的形式。 注意，矩阵P的每一列，就是一个个向量P1，P2, P3…… 接下来，我们就可以定义矩阵R和矩阵P的乘法了。我们把矩阵R和P中的第一列，也就是向量P1相乘的结果，放在结果矩阵的第一列，把矩阵R和P中第二列向量P2相乘的结果放在结果矩阵的第二列，以此类推。 我们就得到了两个矩阵相乘的结果，它也是一个矩阵： 在图中，我特意标红了第一个矩阵的第二行，和第二个矩阵的第二列，以及结果矩阵第二行、第二列的数值，因为红色的行和红色的列，元素两两相乘再相加后，就是结果矩阵中的那个结果。对于一般的情况，第一个矩阵中的第i行，和第二个矩阵的第j列，相乘相加，结果就是结果矩阵中第i行、第j列位置的数值。 那么从矩阵和向量相乘，到矩阵相乘有什么好处呢？前一种情形我们可以理解为小批量处理，后一种则是大批量处理。 要点总结：我们讲了矩阵这个人们虚构出来的一种工具，利用这种工具，我们能够让计算从单个的，变成批处理的。矩阵有很多用途，我们只讲了一点点，从它的加法，我们可以理解核心矩阵和增量的关系；从它的乘法，我们看到了它在金融中的应用。 要再次强调的是，将单个计算变成大批量处理，这是我们今天在信息时代要有的思维方式。 在结束本模块之前，我们要回答最后一个问题。为什么讨论矩阵运算这样问题的数学分支被称为线性代数？我们回顾一下矩阵和向量的乘法就知道答案了。 在运算时，左边的那个矩阵里的数字可以被看成是一组常数系数，右边竖着的向量中的数字则是未知数变量，这样矩阵和向量的乘法就变成了一组线性方程。如果把它们画在空间中，就是直线、平面或者立方体，都是线性的，不会有任何曲线。因此涉及到这一类的代数运算被称为线性代数。 当然，自然界中很多数学问题并非线性的，但是我们在解决它们的时候经常将问题近似为线性的问题，这样可以利用很多线性代数的工具来解决。 |
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