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你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。这一讲的主题是：数列和级数：要知道当下很重要，但趋势更重要。 有人问我，是否通过学习数学提高了见识水平？公平地讲，很难找到某一个数学知识点，学了之后让见识马上提升，这种直接产生效果的知识我是没有遇到。但是通过学习一些数学知识和方法，帮助我形成了系统的做事方法，并且改进了看待世界的角度，这却不是虚言。 今天和大家分享两点体会，第一点是我们如何举一反三，通过对单个事件，或者说对个案的研究，寻找出对一系列问题的通解，第二点是从很多孤立事件出发，看到并理解趋势和规律。 为了说明这两点，在接下来的几讲里我们用数列这个专题作为例子，练习把握从个体到群体的规律。当然，讲数列还有一个目的，就是承上启下，它会用到前面讲的黄金分割的知识，并且为后面讲极限、无穷大和无穷小奠定基础。 我们先来看一个具体的数列，给你这样一串数字： 1，1，2，3，5，8，13，…… 如果我来问大家下一个数字应该是什么，比较善于琢磨规律的人会指出，由于每一个数字（除了前两个）都是前面两个数字之和，因此下一个应该是21，即8+13。这个答案完全正确，这样一连串有规律的数字放到一起，就形成了我们要说的数列。 上面这个数列，就是数学中鼎鼎大名的斐波那契数列。在这个数列中，我们是有规律可循的，根据数列中开头几个元素的具体数值，知道整个数列每一个位置元素的数值，就是提升自己从孤立事件里发现规律的能力。 数列其实在今天中国的小学已经讲到，比如常见的两种数列分别是这样的： 1，2，3，4，5，6，7，……以及1，2，4，8，16，32，…… 前一种数列由于相邻两个数字（我们称之为元素）的差距都是1，因此被称为等差数列，后一种由于相邻两个数字的比值都是相同的（都是2），因此被称为等比数列。 在学校里，老师会讲从1加到100怎么计算，也会讲到等比数列（也被称为几何数列）会增长很快。但是为什么要把这些数字放到一起研究，其实老师们是语焉不详的。当然即使老师讲，以小学生的理解能力也未必能体会。因此今天我们就从这里入手，讲讲数列和数字的关系。 数列是一种工具。它看似是一串数字，但这里重要的是彼此的关联，以及数字的规律，而不是数字本身。那些规律和我们现实生活中一些事情的发展过程相关，于是这个工具就能够运用到我们真实的世界里了。 比如我们后面要讲到的媒体转播的发散和收敛问题，以及利息问题，就和几何数列有关。以斐波那契数列为例，它其实反映出一个物种自然繁衍，或者一个组织自然发展过程中成员的变化规律。斐波那契数列最初是这样描述的：
如果我们稍微留心一下这个数列的增长速度，虽然它赶不上1，2，4，8，16这样的翻番增长，但其实也很快，也呈现出一种指数增长的趋势。在现实生活中，兔子的繁殖曾经就是这么迅猛。 1859 年，一个名叫托马斯·奥斯汀的英国人移民来到澳大利亚，他喜欢打猎，但发现澳大利亚没有兔子可打，便让侄子从英国带来了24只兔子。 这24只兔子到了澳大利亚后被放到野外，由于没有天敌，它们便快速繁殖起来。兔子一年能繁殖几代，年初刚生下来的兔子，年底就会成为“曾祖”。几十年后，兔子数量飙升至40亿只，这在澳大利亚造成了巨大的生态灾难。 有人可能会问，为什么不吃兔子？澳大利亚人也确实从1929年开始吃兔子肉了，但是吃的速度没有繁殖的快。澳大利亚政府甚至动用军队捕杀，也收效甚微。 最后，在1951年，澳大利亚引进了一种能杀死兔子的病毒，终于消灭了99％以上的兔子，可是少数大难不死的兔子产生了抗病毒性，于是“人兔大战”一直延续至今。从这个故事我想说的是，真遇上指数增长的事情，是非常可怕的。 接下来，我们就定量地分析一下斐波那契数列增长有多快。我们不妨用Fn代表数列中第n个数，那么Fn+1就表示其中的第n+1个数。我们再用Rn，代表Fn+1和Fn的比值，也就是后一个数和前一个数的比值，你可以把它们看成是数列增长的相对速率。 下面的表给出了斐波那契数列中前12个元素的数值，以及增长的速率。 大家可以看出Rn这个比值，很快趋近于1.618了，这恰好是黄金分割的比例。这个结论说明，数学的各个知识点，可能存在某种天然的联系，这似乎是数学这套系统本身浑然天成的结果，因此很多人讲这其实就是数学之美的体现。 我们课程从毕达哥拉斯，讲到黄金分割，然后通过黄金分割，由此把一些数学知识关联起来。这其实就是一个学习数学的技巧了，绝大部分时候不在于题做得有多难，而在于你闭上眼睛，能够用一两条关键的线索把各个知识点串联起来。 通过上面这个比例，我们需要说明两件事情。首先，虽然这个数列最终的走向是收敛于黄金分割的比例，但是在一开始的几个数，并不符合这个规律。这在数学上不是偶然现象，很多时候，仅仅通过少数几个数字得到的所谓的“规律”，其实和采用大量数据后得到的规律完全是两回事，这一点要特别注意。 其次，上述这个比率，几乎是一个企业扩张时能够接受的最高的员工数量增长速率，如果超过这个速率，企业的文化就很难维持了。企业在招入新员工时，通常要由一个老员工带一个新员工，缺了这个环节，企业的人一多就各自为战了。 而当老员工带过两三个新员工后，他们都会追求更高的职业发展道路，不会花太多时间继续带新人了，因此带新员工的人基本也就是职级中等偏下的人，这很像兔子繁殖，只有那些已经性成熟而且还年轻的在生育。 我们在谈到等比数列时，通常会想到指数爆炸，变得越来越大。但是还有另一类等比数列，它们的数字每一个都比前一个小，最终就会趋近于零。 炒股的人有这样的经验，如果每次损失10%，用不了几次就损失一半了，这就是等比数列中每一个数字都在不断按比例衰减的结果。具体讲，大约6次，就会损失一半，大约13次就会损失3/4。 再举一个例子，今天用于测定年代的碳-14测定法，利用的就是这个原理。碳-14是自然界里一种天然的元素，是宇宙射线照射大气的产物，因此它会不断产生，但是它有放射性，因此过一段时间会衰变掉一部分，于是它在自然界保持着一个动态平衡。 生物体在活着的时候，会吸入大气中的碳-14元素（通过二氧化碳），因此它体内的比例就和自然界的比例相同。但是生物体一死，就不会再吸入碳-14了，因此体内碳-14的比例就会逐渐降低。 根据生物遗骸体内碳-14的比例，结合碳-14衰变的速率（也称为半衰期），就能算出古代生物体距今的时间。所以，对于等比数列，我们一般理解的是快速上涨，但是它也可能代表不断地衰减。 数列，其实讲的就是一个趋势。很多时候，我们不仅关心当前这个数有多大，或者我们有多少钱，多少资源，还关心明天它能变得多大，变得多快，这就是数列的意义。至于等差数列，其实是缓慢上涨的，即使每一个都比前面的大，到后来的增长也很不明显。 也就是说，同样是增长的趋势，我们还需要关心积累的速度。比如说，一个刚工作的年轻人，一年挣10万元，能存20%的收入，他每年的工资增长10%。当地的房价是300万元，首付要20%也就是60万，那么他工作多少年能够付得起首付呢？ 这就要计算数列中每一个元素之和了，这个算出来的和，被称为级数。具体到这个问题，我们知道这位年轻人第一年能存2万元，第二年能存2.2万，然后是2.42万、2.66万、2.93万……假如他要存N年才能凑够首付，这个N最后算出来就是15年。 计算公式：S（N）= 2（1 + 1.1 + 1.1^2 + 1.1^3 + …… + 1.1^[N-1]) 建议你亲自算一算这道题，这样你就更能体会为什么必须进步，而且要比同龄人更快地进步了。 思考题：如果房价保守估计，每年上涨3%，那年轻人又需要存多少年呢？ 要点总结：
我们下一讲再见。——吴军《数学通识五十讲》 |
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