模型 | 正方形模型·全归纳

来源：周老师的初中理科课堂（ID：zhou_studyclub）

这次要归纳的是和正方形相关的几何模型，内容基本涵盖了中考中考查频率较高的各种类型，既有比较基础的，也有提升和拓展，更有我的独家解题心得。我愿意毫无保留地分享这些经验，希望能帮助到学有所需的同学！

首先，我们概览一下正方形模型总图：

咱们再放大了看清楚：

乍一看是不是觉得线条纷杂？因为正方形当中的特殊点、特殊线相互之间都是有关联的，所以我可以把所有相关模型组合在一起。

接下来我会把这些元素拆开细讲，如果同学们看过之后全都理解掌握了，也可以试着画一画，我觉得如果能把这张图画好，正方形就被你看透，毫无秘密了。

分解一：这是各种模型中最常考的，几乎没有秘密，每个人都必须熟练掌握。在我的教学体系中，它被归为“半角模型”中的一种常考特例，所以只要采用解决“半角模型”的通用方法——旋转+二次全等，就可以轻松解题。（“半角模型”也是非常有用的，建议掌握。）

分解二：“轨迹”是一种重要的数学思想方法，其影响贯穿整个初高中阶段，现在就习惯和掌握这种思维模式，对高中阶段的解析几何学习是非常有益的。

 对“轨迹”的考查在中考中一般都是以难题、压轴题出现，单是“轨迹”这个专题我就会给学生讲好几个课时。很多同学在初三下的最后阶段，才开始接触到真正的压轴题，很多高阶的内容是来不及掌握的，所以我都是很早就开始给学生灌输这些思想和观点。我建议学有余力的同学，一定要好好领悟下“轨迹”思想。

分解三：因为很多分析都已经写在图上了，我就不再赘述。请需要学习的同学仔细看图上的批注，特别是方法总结。

这个模型还有几种引申的考法：

请同学注意上图中打星的句子，这可不是句无关痛痒的废话，请好好理解下，如果你真的懂我的意思了，解这类几何题绝对没问题。

分解四：这部分涉及到圆和相似三角形，是九年级数学的内容。首先看一下是不是和“分解二”的模型很类似，其实这两个是互逆的过程，不过“分解四”的证明难度略高些。其中提到的“四点共圆”不是大纲内容，但是并不难懂，而且真的很好用，我教的学生都要求要掌握的，学有余力的同学一定要重视。

我们再看个典例：

“弦图”也是和正方形相关的重要模型，几乎是必考内容，在我的体系中也是要单独重点学习的，同学在学习勾股定理的时候应该就认识“弦图”了。

下面先简单介绍下“弦图”的基本模型，注意红字。

总结：

1. 以上只是归纳了我个人认为非常重要，考查频率较高的几类模型，不能说涵盖正方形的全部考点。
2. 同时，我也相当于向同学们展示了我学好几何的一种方法——模型归纳法。我不可能把几百几千道题目的答案死记硬背下来，我认为掌握了模型就是掌握了出题者的套路，任它千变万化都可应对。
3. 为什么有的同学觉得这个模型我记住了，做题还是不行呢？出题者当然不会把模型直接画出来考你啊，那么明显的话岂不是大家都会了。题目肯定是经过“包装”的，比如：把图形转到一个看起来不太顺眼的方向，给几何元素赋予实际意义，把几个模型的元素组合在一起，把简单的模型构造隐藏于复杂图形中……还是看不出来怎么办？多看！多练！多悟！勤归纳！模型就在那里，你和会学者的差距就在于能不能“识别”出它来！
4. 对上述模型要求做到：一要熟记模型构造和结论，解小题能快速得分；二要掌握证明过程，解大题要思路清晰、步骤详细。
   
   

文章来源：周老师的初中理科课堂（ID：zhou_studyclub）