【原】幂函数定积分与自然数方幂和的计算

一、据定积分的定义表示被积函数为幂函数的定积分

设被积函数为幂函数的定积分为

将积分区间匀分成n等分（n→∞），则有

 

用宽、长分别是 、 、…的矩形面积和替代各曲边梯形面积和

依据定积分的定义，被积函数为 y=x^k，，在积分区间为闭区间[o a]上的定积分就是

二、幂函数定积分与自然数方幂和的计算

 k＞0，依据莱布尼茨公式有

 

当n→∞，

 

因为

所以

等式两边同除以得

依据精确的自然数正整数次方的幂和公式判断，上述等式是不成立的。当自然数n→∞的情况下，这个极限的值为1。

用归纳法可证明这个极限的值为1。所以，当自然数n→∞的情况下，自然数正整数次方的幂和s可用公式

作近似计算。

当自然数n→∞，K为正分数的情况下，能不能用此公式进行自然数方幂和的近似计算？从公式的推导过程来看，答案是肯定的。限于计算工具、计算技巧方面的问题，这里不举例验证。