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线索千万条，全等第一条，看图不仔细，唯有泪两行 平行四边形中的全等，往往隐藏于更多已知条件之中，四边形的复杂度比起三角形来，要更上一层楼，找准已知条件描述的对象，认真仔细看图，是解几何题的关键。全等三个条件中，最难找的一条，一般都有线索可寻。本题取材于八年级下平行四边形的性质，其中的全等三角形构造不容易，找齐条件更不容易。 题目 平行四边形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为边BC上一点，且AB=AE，连接EO并延长交AD于点F，BG⊥AE于H点，交AC于G点，∠ACB=45°.求证：DF=√2CG 解析： 由果索因的方法，求证DF=√2CG，一般而言，这种线段之间的数量关系出现于等腰直角三角形中，而题目条件中恰好也有45°，因此，基本思路是构造一个等腰直角三角形，将DF和CG通过等量转换，找到它们之间的关系，而等量转换的最佳方式，莫过于全等三角形。 构造等腰直角三角形，许多同学能想到过点G作BC的垂线，这很好，同时，我们也应该看到，△ABE是等腰三角形，而等腰三角形中，三线合一不能忘，因此过点A作BC的垂线，又构造出一个等腰直角三角形，如下图： 现在，让我们一起梳理一下思路，图中全等三角形最容易证明的是△AOF≌△COE，通过这次全等，可以得到AF=CE，再加上平行四边形对边相等AD=BC，可得到DF=BE。 BE正好是等腰△ABE的底边，被AM分成相等的两部分BM和EM，与此同时CG已经处于构造出的等腰Rt△CNG中，CG=√2GN，那么GN与BM之间是否存在相等的关系呢？观察它们分别所处的三角形，△ABM与△BGN，有一对直角相等，最小的锐角相等（“8”字型三角形），如下图： 还差一条边，又陷入全等二缺一的境地了。哪条边最有可能相等呢？ 请注意图中的△ABG，它的两个角∠BAG和∠BGA，可分别进行如下转换，∠BAG=∠BAM+∠MAC，其中∠MAC=45°，而∠BGA作为△BCG的外角，∠BGA=∠CBG+∠ACB，而∠ACB=45°，通过刚才的“8”字型三角形，我们可知∠CBG=∠EAM=∠BAM，于是∠BAG=∠BGA，从而它是一个等腰三角形，如下图： 现在条件全齐了，可以证明第二对全等三角形，△ABM≌△BGM，BM=GM，接下来完成最后的等量转换，如下图： 解题反思： 本题总共用到了两次全等，属于较难的中档题，尤其是第二次全等的条件，非常不容易发现，但线索即隐藏在题目条件中，需要仔细揣摩。思考过程中，常见的基本证明方法，都见于课堂上例题或习题的解答，是否真理解了，就看本题思考过程中有没有应用。数学思维的训练，并不简单地加大题目难度或增加数量，最有效的训练就是解完题后的反思，正如健身时，最有效的并不是开头那几组动作，而是快接近极限时的最后一组。 |
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