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很久以前，人类便掌握了很多种测量圆周长的办法，有一种是让圆在一平面上滚动一周后，测量对应一点在平面上的距离即是圆的周长。也在很早的时候就发现，这个距离和圆的直径是成正比的，这个比值便是圆周率Π。 如上图所示： 大圆滚动一周的距离为CC'，大小等于大圆的周长2πR； 小院滚动一周的距离为BB'，大小等于小圆的周长2πr。 目前为止，好像一切都没问题，但是当我们把小圆固定在大圆上一起滚动的时候问题就来了： 随着两个圆滚动一周以后，大圆滚动的距离是CC'，小圆滚动的距离是BB',因为两个圆是固定在一起的，BC两点的位置是固定的，也就是BB'=CC'。由此得到一个令人震惊的结论：两个圆的周长是相等的！ 这显然是不科学的，亚里士多德早在2000多年前的《论力学》中轮子悖论中就提到了这个问题，这个问题提出之后，让数百年来的很多伟大的数学家感到困惑和不解。后来人们逐渐在这个问题上达成了共识：小圆在滚动的同时相对于平面进行了滑动。正是因为这个滑动也导致最后的距离大于其本身的周长。但是这个解释并不能让大家信服，因为小圆的滑动直观上不容易看出来，后来物理学家伽利略通过正多边形的分析给出了更科学的解释： 如上图，表示的是两个固定在一起的正六边形，在做1/6滚动过程中，大六边形上的点A和接触面的接触点是没变的一直在点A，但是小六边形对应的点G的位置却变到了G'，也就是说在滚动的这1/6圈，小六边形相对于平面发生了滑动。如果大小六边形的边心距分别为R，r通过简单的计算我们可以得到每滚动1/6周，小六边形滑动的距离为： s=2R/cot(π/6)-2r/cot(π/6); 滚动一周的滑动的距离即：6s=6*2(R-r)/cot(π/6) 扩展到正n边形，我们得到小多边形的滑动的距离公式为S=n*2(R-r)/cot(π/n)，圆可以视作n为正无穷的正多边形，对上式求极限可得S=2π(R-r)，正好是两个圆的周长之差，由此可见滚动求周长的方法是可行的，但是只对和滚动接触面直接接触的圆有效。 随着数学的发展，我们对这个问题的认识也越来越深刻，实际上我们将一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹称之为摆线。摆线有着很多神奇的性质，比如： 它的长度不依赖于π，等于旋转圆直径的 4 倍 在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍 还用一个非常重要的性质就是仅受重力作用且初速度为零的质点沿曲线运动时所需时间最短的曲线正是摆线，也正是因为这个性质摆线也被称为 ：最速降线。 摆线的方程式为：x=r*(θ-sinθ)， y=r*(1-cosθ)；其中r为圆的半径， θ是圆的半径所经过的弧度（弧度制）。从方程可以看到，摆线是有周期的，旋转一周即θ=2π时，x=2πr，正好是圆的周长。 而对于一个圆沿一条给定直线滚动时，固定在圆所在平面内一定点经过的轨迹，称为次摆线。 次摆线的方程为：x=aθ-bsinθ, y=a-bcosθ；其中θ为动圆滚过的角度（弧度制），a为动圆半径，b为定点与圆心之间的距离。也可以很容易发现，次摆线的周期是θ=2π时，x=2πr，也是大圆的周长，是和小圆的周长没有关系的。 由于摆线这些神奇的性质，使得对摆线的研究在齿轮、物流仓储等方面都有着非常重要的意义。是不是觉得一个小小的问题有这么多有趣的小知识呢？ 打破沙锅，刨根问底，我是锅哥，如果您觉得对您有所启发，帮忙点个赞吧~ |
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